数学中的铅垂线定理。

把重物悬挂于细线上﹐使它自由下垂﹐沿下垂方向的直线叫做"铅垂线"。铅垂线与水平面相垂直。

垂线 : 两条直线相交成直角，称这两条直线互相垂直，其中一条直线称为另一条直线的垂线。它们的交点称为垂足。如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面互相垂直，这条直线称为平面的垂线。

角平分线定理是指：

定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等

逆定理：在一个角的内部（包括顶点）,且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上

定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例

中垂线定理是指：

定理：在线段的中垂线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

线段的中垂线定理：线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等。

几何中中心的定义：正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心。

任何一个正多边形，都可作一个外接圆，多边形的中心就是所作外接圆的圆心，所以每条边的中心角，实际上就是这条边所对的弧的圆心角，因此这个角就是360度÷边数，正三角形的中心角是120度，正五边形的中心角是72度，正九边形的中心角是40度，……。

事实上，用尺规作图的话，就是任何两边的中垂线的交点。

扩展资料：

垂直平分线的性质

一、垂直平分线垂直且平分其所在线段

二、垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等

三、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等

四、垂直平分线的判定：必须同时满足（1）直线过线段中点;（2）直线⊥线段。

参考资料：

搜狗百科-垂直平分线

参考资料：

搜狗百科-正多边形的中心

具体内容如下：

三垂线定理指的是平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理是立体几何的重要定理之一，平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也就和这条斜线垂直，三垂线定理通过平面斜线的射影与平面内一直线的垂直关系来判定斜线与平面内一条直线垂直。

由于定理中涉及三条与平面内已知直线有垂直关系的直线，故称为三垂线定理。

逆定理

三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

说明

（1）线射垂直（平面问题）⇒线斜垂直（空间问题）；

（2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理；

（3）三垂线定理描述的是PO（斜线）、AO（射影）、a（直线）之间的垂直关系。

（4）直线a与PO可以相交，也可以异面。

（5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。

（6）可用来解决异面直线所成的角和二面角的平面角等问题。

秃鹰1986

[新手]

三垂线定理（一）

数学组：周海军

一、教学目标说明

（1） 三垂线定理及其逆定理都是研究直线和直线的垂直关系的。它们在空间图形的计算问题和证明问题中有着广泛的应用，所以这部分内容中的知识必须达到理解、应用的水平。

（2）利用计算机模拟运动，增强直观性，激励学生的学习动机，培养学生的空间想象能力和转化的数学思想方法；同时培养学生观察、猜想和论证能力。

二、教学重点和难点

重点：三垂线定理及逆定理的教学，两个定理的应用

难点：三垂线定理及逆定理的应用

三、教学方法

讲练结合，运用计算机辅助教学

四、教学过程及说明

1、复习旧知，揭示课题

在立体图形的性质讨论或计算中，常常要遇到判定两条直线垂直的问题或求点到直线距离的问题。这些问题可通过线面垂直的讨论或用平移转化为平面内问题的方法来解决，但这样做比较烦琐，时否能找出直接判定空间两直线垂直的方法呢？

例、在立方体ABCD-A1B1C1D1中，

（1）找出平面AC的斜线BD1在平面AC内的射影；

（2）直线BD1和直线AC的位置关系如何？

（3）直线BD1和直线AC所成的角是多少度？

解：连结BD交AC于点O，过O作BD1的平行线交DD1于点M，连结MA、MC

则∠MOA或其补角即为异面直线AC和BD1所成的角。不难得到MA=MC，而O为AC的中点，因此MO⊥AC，即∠MOA=90°，

∴异面直线BD1与AC所成的角为90°

通过回忆斜线、射影、直线与直线的位置关系，揭示这节课所要学的内容与原来所学的知识之间的内在联系，也就是提醒学生这节课的目的是利用所学过的数学知识去总结结论，发现定理，从而为定理的证明打下了基础。

2、分析定理，得出逆定理

① 分析定理中的关键字词，计算机闪烁相应字词及相应的图形，其目的是帮助学生更好地理解定理，加深印象。

② 在定理证明完毕，提问：若将已知条件“a⊥AO”与“a⊥PO”互换，结论成立吗？电脑动态显示“a⊥AO ” 与 “a⊥PO ” 语句的移动，激发学生的学习兴趣，增强探索问题的能力。

③定理与逆定理的一致性，分析定理中的元素与用途。通过电脑动态显示，进一步加深学生对两个定理的理解。

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么这也和这条斜线垂直。

已知：PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO是PO在平面α上的射影，直线a在平面α内，a⊥AO

求证：a⊥PO

证明：

AO⊥a

a⊥PO

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么也和这条斜线的射影垂直。

小结1：定理中涉及到的几何元素是：

（1）一个平面；

（2）四条直线：①平面的垂线；②平面的斜线；③斜线在这个平面内的射影；④平面内的一条直线。

（3）三个垂直：①垂线与平面垂直；②平面内的直线和斜线在这个平面内的射影垂直；③平面内的直线和斜线垂直。

3、应用定理

例1、在空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AH⊥平面BCD，求证：BH⊥CD

证明：∵AH⊥平面BCD

∴AB在平面BCD内的射影为BH

又∵AB⊥CD，且CD在平面BCD内

由三垂线定理的逆定理知，BH⊥CD。

例1的目的在于要求学生掌握定理的用法，并小结利用定理证明线线垂直的一般步骤：一定二找三证。

例2、已知：在直角三角形ABC中，角A为直角，，PA⊥平面ABC，BD⊥PC，垂足为D；

求证：AD⊥PC

证明：∵PA ⊥平面ABC

∴PA⊥BA

又∵BA⊥AC

∴BA⊥平面PAC

∴AD是BD在平面PAC内的射影

又∵BD⊥PC

∴AD⊥PC。

（三垂线定理的逆定理）

例3、在立方体ABCD-A1B1C1D1内

（1）立方体的各个面上的对角线与立方体的对角线A1C互相垂直 的共有几条？

说明：可以得到线面垂直；

（2）设O是BD的中点，E、F分别是A1B1和的B1C1中点，求证：D1O⊥EF；

略解：法1：可以证明D1O在平面A1C1上的射影是B1D1

而B1D1⊥直线EF，由三垂线定理知EF⊥D1O

法2：可以证明EF⊥平面B1BDD1。

（3）若P点为BD上的任一点，则A1C和D1P不垂直。

说明：通过典型的练习，使学生从不同的图形、不同的角度去考察三垂线定理，突出对象的本质要素——平面的垂线，从而正确理解三垂线定理，熟练掌握三垂线定理的各种变式及应用的关键，这对强化迁移，进一步培养学行的空间想象能力及逻辑思维能力是十分有利的。

4、练习:判断正误，并说明理由：

（1）如果一条直线和斜线在平面上的射影垂直，那么这条直线和斜线垂直；

（2）如果平面内的一条直线和斜线在此平面上的射影不垂

经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线（中垂线)

1垂直平分线垂直且平分其所在线段

2垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等

3三角形三条边的垂直平分线相交于一点,该点叫外心（circumcenter）,并且这一点到三个顶点的距离相等

教学课题:三垂线定理复习

教学目标:使学生进一步明确三垂线定理及其逆定理的应用,进一步培养学生分析问题,解决问题的能力,从而提高学生的识图能力

教学重点:三垂线定理的应用

教学难点:三垂线定理图形的识别

教学过程:

三垂线定理的主要作用是用来证明直线与直线的垂直,它是由线面垂直推证线线垂直的进化,在应用三垂线定理证明线线垂直时关健在于如何寻找三垂线定理的基本图形"一面四线"

〖基础练习〗

〖练习1〗如图:已知点O,B以及直线a在平面α内,点A在平面外,给出如下三个结论:①AB⊥α;②OA⊥a;③OB⊥a把其中两个作为条件,另一个作为结论,共可组成多少个真命题,请把这些真命题写出来

注:通过这一练习,熟悉三垂线定理及其逆定理所反映的关系,它是三个垂直关系的相互转化

三垂线定理的基本要素:

一面:基础平面

四线:斜线,垂线,射影,面内直线

注:三垂线定理及其逆定理实际上是"面内直线垂直于射影"和"面内直线垂直于斜线"的一种互推关系

定理的符号表示:

三垂线定理:

∵AB⊥平面α,aα,a⊥OB

∴a⊥OA

三垂线定理的逆定理:

∵AB⊥平面α,aα,a⊥OA

∴a⊥OB

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