怎样用特征方程法计算斐波那契数列的通项公式

斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……

如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：

F(0) = 0，F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)

显然这是一个线性递推数列。

通项公式的推导方法一：利用特征方程

线性递推数列的特征方程为：

X^2=X+1

解得

X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2

则F(n)=C1X1^n + C2X2^n

∵F(1)=F(2)=1

∴C1X1 + C2X2

C1X1^2 + C2X2^2

解得C1=1/√5，C2=-1/√5

∴F(n)=(1/√5){[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（√5表示根号5）

通项公式的推导方法二：普通方法

设常数r，s

使得F(n)-rF(n-1)=s[F(n-1)-rF(n-2)]

则r+s=1， -rs=1

n≥3时，有

F(n)-rF(n-1)=s[F(n-1)-rF(n-2)]

F(n-1)-rF(n-2)=s[F(n-2)-rF(n-3)]

F(n-2)-rF(n-3)=s[F(n-3)-rF(n-4)]

……

F(3)-rF(2)=s[F(2)-rF(1)]

将以上n-2个式子相乘，得：

F(n)-rF(n-1)=[s^(n-2)][F(2)-rF(1)]

∵s=1-r，F(1)=F(2)=1

上式可化简得：

F(n)=s^(n-1)+rF(n-1)

那么：

F(n)=s^(n-1)+rF(n-1)

= s^(n-1) + rs^(n-2) + r^2F(n-2)

= s^(n-1) + rs^(n-2) + r^2s^(n-3) + r^3F(n-3)

……

= s^(n-1) + rs^(n-2) + r^2s^(n-3) +……+ r^(n-2)s + r^(n-1)F(1)

= s^(n-1) + rs^(n-2) + r^2s^(n-3) +……+ r^(n-2)s + r^(n-1)

（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）

=[s^(n-1)-r^(n-1)r/s]/(1-r/s)

=(s^n - r^n)/(s-r)

r+s=1， -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2

则F(n)=(1/√5){[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

斐波那契数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,

如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N），那么这句话可以写成如下形式：

显然这是一个线性递推数列。

(如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。)

注：此时 方法一：利用特征方程（线性代数解法）

线性递推数列的特征方程为： 解得 ， 则 ∵ ∴ 解得

方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法）

设常数 ，

使得

则 ，

时，有

……

联立以上n-2个式子，得：

∵ ，

上式可化简得：

那么

……

（这是一个以 为首项、以 为末项、 为公比的等比数列的各项的和）。

， 的解为

则

方法三：待定系数法构造等比数列2（初等代数解法）

已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3），求数列{an}的通项公式。

解 ：设an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。

得α+β=1。

αβ=-1。

构造方程x^2-x-1=0，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。

所以。

an-(1-√5)/2a(n-1)=(1+√5)/2(a(n-1)-(1-√5)/2a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)(a2-(1-√5)/2a1)`````````1。

an-(1+√5)/2a(n-1)=(1-√5)/2(a(n-1)-(1+√5)/2a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)(a2-(1+√5)/2a1)`````````2。

由式1，式2，可得。

an=[(1+√5)/2]^(n-2)(a2-(1-√5)/2a1)``````````````3。

an=[(1-√5)/2]^(n-2)(a2-(1+√5)/2a1)``````````````4。

将式3(1+√5)/2-式4(1-√5)/2，化简得an=(1/√5){[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。

方法四：母函数法。

对于斐波那契数列{a(n)}，有a(1)=a(2)=1,a(n)=a(n-1)+a(n-2)(n>2时)

令S(x)=a(1)x+a(2)x^2+……+a(n)x^n+……。

那么有S(x)(1-x-x^2)=a(1)x+[a(2)-a(1)]x^2+……+[a(n)-a(n-1)-a(n-2)]x^n+……=x

因此S(x)=x/(1-x-x^2)

不难证明1-x-x^2=-[x+(1+√5)/2][x+(1-√5)/2]=[1-(1-√5)/2x][1-(1+√5)/2x]

因此S(x)=(1/√5){x/[1-(1+√5)/2x]-x/[1-(1-√5)/2x]}

再利用展开式1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+……+x^n+……

于是就可以得S(x)=b(1)x+b(2)x^2+……+b(n)x^n+……

其中b(n)=(1/√5){[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

因此可以得到a(n)=b(n)==(1/√5){[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

1，通项公式

Fn={[(1+

√5)/2]^(n+1)-[(1-

√5)/2]^(n+1)}/√5

所以相邻两项的比例为

Fn/Fn+1={[(1+

√5)/2]^(n+1)-[(1-

√5)/2]^(n+1)}/{[(1+

√5)/2]^(n+2)-[(1-

√5)/2]^(n+2)}

利用简单的求极限知识，得到上面式子在n为无穷时的极限为

（√5-1）/2=0618

斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……

如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)那么这句话可以写成如下形式：

F(0) = 0,F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)

显然这是一个线性递推数列

通项公式的推导方法一：利用特征方程

线性递推数列的特征方程为：

X^2=X+1

解得

X1=(1+√5)/2,X2=(1-√5)/2

则F(n)=C1X1^n + C2X2^n

∵F(1)=F(2)=1

∴C1X1 + C2X2

C1X1^2 + C2X2^2

解得C1=1/√5,C2=-1/√5

∴F(n)=(1/√5){[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（√5表示根号5）

通项公式的推导方法二：普通方法

设常数r,s

使得F(n)-rF(n-1)=s[F(n-1)-rF(n-2)]

则r+s=1,-rs=1

n≥3时,有

F(n)-rF(n-1)=s[F(n-1)-rF(n-2)]

F(n-1)-rF(n-2)=s[F(n-2)-rF(n-3)]

F(n-2)-rF(n-3)=s[F(n-3)-rF(n-4)]

……

F(3)-rF(2)=s[F(2)-rF(1)]

将以上n-2个式子相乘,得：

F(n)-rF(n-1)=[s^(n-2)][F(2)-rF(1)]

∵s=1-r,F(1)=F(2)=1

上式可化简得：

F(n)=s^(n-1)+rF(n-1)

那么：

F(n)=s^(n-1)+rF(n-1)

= s^(n-1) + rs^(n-2) + r^2F(n-2)

= s^(n-1) + rs^(n-2) + r^2s^(n-3) + r^3F(n-3)

……

= s^(n-1) + rs^(n-2) + r^2s^(n-3) +……+ r^(n-2)s + r^(n-1)F(1)

= s^(n-1) + rs^(n-2) + r^2s^(n-3) +……+ r^(n-2)s + r^(n-1)

（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和）

=[s^(n-1)-r^(n-1)r/s]/(1-r/s)

=(s^n - r^n)/(s-r)

r+s=1,-rs=1的一解为 s=(1+√5)/2,r=(1-√5)/2

则F(n)=(1/√5){[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

迭代法

已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3),求数列{an}的通项公式

解 :设an-αa(n-1)=β(a(n-1)-αa(n-2))

得α+β=1

αβ=-1

构造方程x²-x-1=0,解得α=(1-√5)/2,β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2

所以

an-(1-√5)/2a(n-1)=(1+√5)/2(a(n-1)-(1-√5)/2a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)(a2-(1-√5)/2a1)`````````1

an-(1+√5)/2a(n-1)=(1-√5)/2(a(n-1)-(1+√5)/2a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)(a2-(1+√5)/2a1)`````````2

由式1,式2,可得

an=[(1+√5)/2]^(n-2)(a2-(1-√5)/2a1)``````````````3

an=[(1-√5)/2]^(n-2)(a2-(1+√5)/2a1)``````````````4

将式3(1+√5)/2-式4(1-√5)/2,化简得an=(1/√5){[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

这个数列是由13世纪意大利斐波那契提出的的,故叫斐波那契数列,它有许多神奇的性质

它的通项公式是

an=1/根号5{[(1+根号5)/2]的n次方-[(1-根号5)/2]的n次方}(n属于正整数)

唯楚有才!

参考资料：

初中数学奥林匹克实用教程第一册(湖南师范大学出版社)第193页

an=1/根号5{[(1+根号5)/2]的n次方-[(1-根号5)/2]的n次方}(n属于正整数)

这个数列是由13世纪意大利斐波那契提出的的,故叫斐波那契数列。该数列由下面的递推关系决定：

F0=0,F1=1

Fn+2=Fn + Fn+1(n>=0)

它的通项公式是 Fn=1/根号5{[(1+根号5)/2]的n次方-[(1-根号5)/2]的n次方}(n属于正整数)

补充问题：

菲波那契数列指的是这样一个数列：

1，1，2，3，5，8，13，21……

这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和

它的通项公式为：[（1＋√5）/2]^n /√5 － [（1－√5）/2]^n /√5 √5表示根号5

很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。

该数列有很多奇妙的属性

比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割06180339887……

还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1

如果你看到有这样一个题目：某人把一个88的方格切成四块，拼成一个513的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了菲波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到

如果任意挑两个数为起始，比如5、-24，然后两项两项地相加下去，形成5、-24、26、02、28、3、58、88、146……等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值

斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21……

如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：

F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)

显然这是一个线性递推数列。

通项公式的推导方法一：利用特征方程

线性递推数列的特征方程为：

X^2=X+1

解得

X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2

则F(n)=C1X1^n + C2X2^n

∵F(1)=F(2)=1

∴C1X1 + C2X2

C1X1^2 + C2X2^2

解得C1=1/√5，C2=-1/√5

∴F(n)=(1/√5){[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}√5表示根号5

通项公式的推导方法二：普通方法

设常数r,s

使得F(n)-rF(n-1)=s[F(n-1)-rF(n-2)]

则r+s=1, -rs=1

n≥3时，有

F(n)-rF(n-1)=s[F(n-1)-rF(n-2)]

F(n-1)-rF(n-2)=s[F(n-2)-rF(n-3)]

F(n-2)-rF(n-3)=s[F(n-3)-rF(n-4)]

……

F(3)-rF(2)=s[F(2)-rF(1)]

将以上n-2个式子相乘，得：

F(n)-rF(n-1)=[s^(n-2)][F(2)-rF(1)]

∵s=1-r，F(1)=F(2)=1

上式可化简得：

F(n)=s^(n-1)+rF(n-1)

那么：

F(n)=s^(n-1)+rF(n-1)

= s^(n-1) + rs^(n-2) + r^2F(n-2)

= s^(n-1) + rs^(n-2) + r^2s^(n-3) + r^3F(n-3)

……

= s^(n-1) + rs^(n-2) + r^2s^(n-3) +……+ r^(n-2)s + r^(n-1)F(1)

= s^(n-1) + rs^(n-2) + r^2s^(n-3) +……+ r^(n-2)s + r^(n-1)

（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和）

=[s^(n-1)-r^(n-1)r/s]/(1-r/s)

=(s^n - r^n)/(s-r)

r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2

则F(n)=(1/√5){[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

斐波那契数列通项公式推导方法

Fn+1=Fn+Fn-1

两边加kFn

Fn+1+kFn=(k+1)Fn+Fn-1

当k!=1时

Fn+1+kFn=(k+1)(Fn+1/(k+1)Fn-1)

令

Yn=Fn+1+kFn

若

当k=1/k+1，且F1=F2=1时

因为

Fn+1+kFn=1/k(Fn+kFn-1)

=>

Yn=1/kYn-1

所以

Yn为q=1/k=1(1/k+1)=k+1的等比数列

那么当F1=F2=1时

Y1=F2+kF1=1+k1=k+1=q

根据等比数列的通项公式

Yn=Y1q^(n-1)=q^n=(k+1)^n

因为k=1/k+1=>k^2+k-1=0

解为

k1=(-1+sqrt(5))/2

k2=(-1-sqrt(5))/2

将k1,k2代入

Yn=(k+1)^n

，和Yn=Fn+1+kFn

得到

Fn+1+(-1+sqrt(5))/2Fn=((1+sqrt(5))/2)^2

Fn+1+(-1+sqrt(5))/2Fn=((1-sqrt(5))/2)^2

两式相减得

sqrt(5)Fn=((1+sqrt(5))/2)^2-((1-sqrt(5))/2)^2

Fn=(((1+sqrt(5))/2)^2-((1-sqrt(5))/2)^2)/sqrt(5)

以上就是关于怎样用特征方程法计算斐波那契数列的通项公式全部的内容，包括:怎样用特征方程法计算斐波那契数列的通项公式、斐波那契数列的通项公式、菲波纳契数列的通项公式是什么等相关内容解答，如果想了解更多相关内容，可以关注我们，你们的支持是我们更新的动力！