对数函数图像及性质

对数函数图像及性质如下：

1、值域：实数集R，显然对数函数无界。

2、定点：函数图像恒过定点(1，0)。

3、单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数。

4、奇偶性：非奇非偶函数。

5、周期性：不是周期函数。

6、零点：x=1。

对数函数表达方式：

（1）常用对数：lg（b）=log10b（10为底数）。

（2）自然对数：ln（b）=logeb（e为底数）。

e为无限不循环小数，通常情况下只取e=271828。

对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

解:底数0<1/2<1，有复合函数性质

要想求y的单调减区间，则求

g(x)=x^2-3x+3的增区间即可

首先定义域显然为R

g(x)=x^2-3x+3在(3/2，+无穷)单调递增

即为y=log1/2(g(x))单调递减区间

答案为[3/2,+无穷)

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由于指数函数y=ax在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数

我们把指数函数y=ax(a＞0，a≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=logax(a＞0，a≠1)

因为指数函数y=ax的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=logax的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞)

2对数函数的图像与性质

对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质

为了研究对数函数y=logax(a＞0，a≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log2x，y=log10x，y=log10x,y=log x,y=log x的草图

由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=logax(a＞0，a≠1)的图像的特征和性质见下表

图

象

a＞1

a＜1

性

质

(1)定义域为x＞0

(2)当x=1时，y=0

(3)当x＞1时，y＞0

0＜x＜1时，y＜0

(3)当x＞1时，y＜0

0＜x＜1时，y＞0

(4)在(0，+∞)上是增函数

(4)在(0，+∞)上是减函数

补充

性质

设y1=logax y2=logbx其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1＝

当x＞1时“底大图低”即若a＞b＞1则y1＞y2

当0＜x＜1时“底大图高”即若1＞a＞b＞0，则y1＞y2

利用函数的单调性可进行对数大小的比较比较对数大小的常用方法有：

(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断

(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论

(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较

(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较

3指数函数与对数函数对比

为了揭示对数函数与指数函数之间的内在联系，下面列出这两种函数的对照表

指数函数与对数函数对照表

名称

指数函数

对数函数

一般形式

y=ax(a＞0，a≠1)

y=logax(a＞0，a≠1)

定义域

(-∞，+∞)

(0，+∞)

值域

(0，+∞)

(-∞，+∞)

函

数

值

变

化

情

况

当a＞1时，

当0＜a＜1时，

当a＞1时

当0＜a＜1时，

单调性

当a＞1时，ax是增函数；

当0＜a＜1时，ax是减函数

当a＞1时，logax是增函数；

当0＜a＜1时，logax是减函数

图像

y=ax的图像与y=logax的图像关于直线y=x对称

首先先明确复合函数单调性问题：若一个函数是由两个函数f(x)与g(x)复合的，则f(x)与g(x)单调性相同时，复合函数是增函数，则f(x)与g(x)单调性相反时，复合函数是减函数。

对于对数函数的复合函数要判断它的单调性，首先要求定义域（即真数大于0），然后再看对数的底数a的大小，即确定对数的单调性；最后看真数函数的单调性

基本性质：

1、a^(log(a)(b))=b

2、log(a)(a^b)=b

3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);

5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)

其他性质：

1、换底公式log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a)

2、log(a)(b)=1/log(b)(a)

3、对数函数的图像都过（1,0)点。

4、对于y=log(a)(n)函数

当0<a1时，图像上显示函数为（0,+∞）单增，随着a的增大，图像逐渐以（10)点为轴逆时针转动，但不超过X=15。与其他函数与反函数之间图像关系相同，对数函数和指数函数的图像关于直线y=x对称。

对数函数性质

定义域求解：对数函数y=logax 的定义域是{x 丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx（2x-1）的定义域，需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为 {x 丨x>1/2且x≠1}

值域：实数集R，显然对数函数无界；

定点：对数函数的函数图像恒过定点（1，0）；

单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数；0<a<1时，在定义域上为单调减函数；

奇偶性：非奇非偶函数

周期性：不是周期函数

对称性：无

最值：无

零点：x=1

设区间内x1、x2，x1＜x2，代入f(x) 比较f(x1)与f(x2)的值，若： f(x1)＞f(x2)，则为减函数；反之则为增函数。 要注意区间。 有，结合指数和真数的图像来看。 熟记之后就可以判断出它的单调性，你的教辅资料上应该有详细的说明。

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