瑕积分的敛散性怎么判断大概步骤是怎样的

关于瑕积分敛散性的判别,通常的判别法比较单一,又由于判别法本身的局限性,使许多瑕积分的敛散性难以判定。选择合适的判别法对于无穷限瑕积分的敛散性来说显得非常重要。

ju个例子:∫0到1

dx/三次根号下(x(e^x-e^-x)的敛散性如何判断

解:

x->0时,e^x-e^(-x)

->

(1+x)-(1-x)

=

2x

于是原式变成

dx/((2x^2)^(1/3))

=

2^(-1/3)

x^(-2/3)

dx

于是收敛。

反常积分中的瑕点是指广义积分积分限中使积分函数不存在的点，如果函数f（x）在点a的任意一个去心邻域内没有界，那么点a称为函数f的瑕点，瑕点积分是存在的。

瑕积分这个概念本身就是为了处理函数在某点无定义的情形，不能仅从函数无定义断言瑕积分发散。反常积分存在时的几何意义是函数与X轴所围面积存在有限制时，即便函数在一点的值无穷，但面积可求。

就是就是定积分上（下）限是被积函数的无穷间断点，这时积分被定义为上（下）限趋于这个点的极限，需要讨论这个极限是否存在。

反常积分中的瑕点的含义：

如果函数f(x)在点a的一个邻域无界，那么点a称为函数f(x)的瑕点（也称无界间断点容）。无界函数的反常积分又称为瑕积分。

如果函数在点a的任一临域内都无界的意思是被积函数的第二类间断点，即在这点的被积函数不存在。

临域无界即这点的邻域是没有边界的，即不存在。判断反常函数的瑕点，不仅仅只是看分母为0的点，是所有使被积函数无意义的点。

扩展资料：

求不定积分的方法：

第一类换元其实就是一种拼凑，利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。（用换元法说，就是把f（x）换为t，再换回来）

分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）

关于瑕积分敛散性的判别,通常的判别法比较单一,又由于判别法本身的局限性,使许多瑕积分的敛散性难以判定。选择合适的判别法对于无穷限瑕积分的敛散性来说显得非常重要。

ju个例子:∫0到1 dx/三次根号下(x(e^x-e^-x)的敛散性如何判断

解:

x->0时,e^x-e^(-x) -> (1+x)-(1-x) = 2x

于是原式变成 dx/((2x^2)^(1/3)) = 2^(-1/3) x^(-2/3) dx

于是收敛。

首先，这里0和+oo都是暇点，要分开处理，比如说把积分区间拆成[0,1]和[1,+oo)然后各自讨论

在[0,1]上|lnx sinx/x|<=|lnx|，而|lnx|的积分是收敛的，所以这一段区间上积分绝对收敛

[1,+oo)上的收敛性和[100,+oo)上的收敛性是一样的，可以考虑后者，这样lnx>0

一方面lnx/x单调趋于0，sinx的积分一致有界，由Abel-Dirichlet判别法可知lnx sinx/x的积分收敛

另一方面，|lnx sinx/x| >= lnx/x sin^2x = lnx/(2x) - lnx/(2x) cos2x

lnx/(2x) cos2x的积分可以由Abel-Dirichlet判别法判定为收敛，lnx/(2x)的积分显然是发散的

所以 lnx sinx/x 在[1,+oo)上条件收敛

组合起来就得到[0,+oo)上的条件收敛性

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