如何证明连续函数的可导性

1、证明函数在整个区间内连续。（初等函数在定义域内是连续的）

2、先用求导法则求导，确保导函数在整个区间内有意义。

3、端点和分段点用定义求导。

4、分段点要证明左右导数均存在且相等。

如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等,则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。

扩展资料：

如果一个函数的定义域为全体实数，函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。

可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标。

从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。

参考资料来源：百度百科--可导

连续是可导的必要不充分条件，函数可导的充要条件是：函数在该点连续且左导数、右导数都存在并相等。连续的函数不一定可导，可导的函数一定连续。如果函数在区间内存在“折点”，(如f(x)=|x|的x=0点)则函数在该点不可导。

同样的道理，“函数在闭区间可导”是不可能的。因为区间的左端点没有左导数，右端点没有右导数，所以函数最多只能在开区间可导。在数学的理论中，连续属于函数的一种属性。连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。

如果输入值的某种微小的变化，会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数(或者说具有不连续性)。函数在该点的左右导数都存在并且相等，也不能证明这个点的导数存在，只有左右导数都存在并且相等，才能证明该点可导，因此连续是可导的必要不充分条件。

判断如下：

1、如果对于任意不论多么小的正数e，总能找到一个正数o（依赖于e），使得对满足不等式|x-x0|<e的所有x都有|f(x)-f(x0)|<e，那么就说函数f(x)在x=x0是连续的。

依赖于的意思是通过e得到o，例如o=e^3，注意这种关系不能倒过来。形象地说就是没有断点。

2、如果差商[f(x0+d)-f(x0)]/d，当d不论从哪边趋于0时，都有唯一的极限f'(x0)，那么就说函数f(x)在x=x0是可微的。形象地说就是光滑。

3、连续是可导的必要不充分条件：

要判断函数在一点是否连续，要用极限的方法，就是这点左极限和右极限是否相等，相等就是连续的。要判断是否可导，是可导必定连续，如果不是连续，就不可导，如果连续，求这点的左导数和右导数，相等就是可导，不相等不可导。

扩展资料：

1、连续点：如果函数在某一邻域内有定义，且x->x0时limf(x)=f(x0)，就称x0为f(x)的连续点。

一个推论，即y=f(x)在x0处连续等价于y=f(x)在x0处既左连续又右连续，也等价于y=f(x)在x0处的左、右极限都等于f(x0)。

这就包括了函数连续必须同时满足三个条件：

1）函数在x0 处有定义；

2）x-> x0时，limf(x)存在；

3）x-> x0时，limf(x)=f(x0)。

初等函数在其定义域内是连续的。

2、连续函数：函数f(x)在其定义域内的每一点都连续，则称函数f(x)为连续函数。

3、连续性与可导性关系：连续是可导的必要条件，即函数可导必然连续；不连续必然不可 导；连续不一定可导。典型例子：含尖点的连续函数。

如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。

参考资料来源：百度百科——函数可导性与连续性

问题一：可导是连续的什么条件 充分非必要条件

我说点白话吧，假设A是条件，B是结论

满足A就一定得到B，A就是B的充分条件

满足A不一定得到B但是不满足A就一定的不到B，就说明A是B的必要条件，说得再通俗一点就是光有A还不够充分得到结论B，但是A是必要的，没它不行，没有它就一定的不到结论B。顺便说一句，对于一个命题来说原命题和你否命题真假性是相同的，也就是说如果A是B的必要条件，原命题是不满足A即的不到B，他的逆否命题也是成立的，就是说满足了B就能得到A，这个也是判断必要条件的方法也就是说B满足不了A的话A就不是B的必要条件

充分非必要和必要非充分以及充要条件我就不用说了吧？这你再理解不了就说不过去啦

问题二：连续是可导的什么条件 f（x）=√x^2且[f(x)-f(x0)]={[f(x)-f(x0)]/(x-x0)}(x-x0)=0等号两边加极限号连续和可导都是函数在某一点及附近一个很小的临域内的性质,前者是说函数在这一点的变化不是太大,也就是自变量从左右趋近于这一点时函数值趋近于这一点的函数值;后者是说在这一点函数光滑,也就是存在切线,也就是从左右逼近的切线在这一点重合由此可见可导一定连续,而连续不一定可导连续与可导的条件书上写得很清楚

问题三：连续与可导的关系 函数在某点可导的充要条件是左右导数相等且在该点连续。

定然，如果函数在区间内存在“折点”，（如f(x)=|x|的x=0点)则函数在该点不可导。

同样的道理，“函数在闭区间可导”是不可能的。因为区间的左端点没有左导数，右端点没有右导数，所以函数最多只能在开区间可导。

问题四：连续函数可导的条件是什么？ 连续函数在一点可导的条件是：该点左右导数存在且相等。

函数在一点可导定义：设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。

要使 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在，必有 [f(x0+a)-f(x0)]/a左右极限存在且相等，即左右导数相等。

例题如下图

问题五：可导的条件是什么？ 可导设y=f(x)是一个单变量函数,如果y在x=x0处存在导数y′=f′(x),则称y在x=x[0]处可导

如果一个函数在x0处可导,那么它一定在x0处是连续函数

函数可导定义：（1）设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在,则称f(x)在x0处可导

（2）若对于区间(a,b)上任意一点(m,f(m))均可导,则称f(x)在(a,b)上可导

函数可导的条件：

如果一个函数的定义域为全体实数,即函数在其上都有定义,那么该函数是不是在定义域上处处可导呢答案是否定的函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在,它的左右极限存在且相等）推导而来

问题六：高数可导，连续的问题 函数在某一点是否是可导的条件是：在该点的左、右导数相等；

函数在某一点是否连续的条件是：在该点左、右极限相等且等于该点的函数值。

问题七：可导和连续的关系 关于函数的可导导数和连续的关系：

1、连续的函数不一定可导。

2、可导的函数是连续的函数。

3、越是高阶可导函数曲线越是光滑。

4、存在处处连续但处处不可导的函数。

左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限=右极限（左右极限都存在）。连续是函数的取值，可导是函数的变化率，当然可导是更高一个层次。

问题八：可导是连续的什么条件 充分非必要条件

我说点白话吧，假设A是条件，B是结论

满足A就一定得到B，A就是B的充分条件

满足A不一定得到B但是不满足A就一定的不到B，就说明A是B的必要条件，说得再通俗一点就是光有A还不够充分得到结论B，但是A是必要的，没它不行，没有它就一定的不到结论B。顺便说一句，对于一个命题来说原命题和你否命题真假性是相同的，也就是说如果A是B的必要条件，原命题是不满足A即的不到B，他的逆否命题也是成立的，就是说满足了B就能得到A，这个也是判断必要条件的方法也就是说B满足不了A的话A就不是B的必要条件

充分非必要和必要非充分以及充要条件我就不用说了吧？这你再理解不了就说不过去啦

问题九：连续是可导的什么条件 f（x）=√x^2且[f(x)-f(x0)]={[f(x)-f(x0)]/(x-x0)}(x-x0)=0等号两边加极限号连续和可导都是函数在某一点及附近一个很小的临域内的性质,前者是说函数在这一点的变化不是太大,也就是自变量从左右趋近于这一点时函数值趋近于这一点的函数值;后者是说在这一点函数光滑,也就是存在切线,也就是从左右逼近的切线在这一点重合由此可见可导一定连续,而连续不一定可导连续与可导的条件书上写得很清楚

问题十：连续与可导的关系 函数在某点可导的充要条件是左右导数相等且在该点连续。

定然，如果函数在区间内存在“折点”，（如f(x)=|x|的x=0点)则函数在该点不可导。

同样的道理，“函数在闭区间可导”是不可能的。因为区间的左端点没有左导数，右端点没有右导数，所以函数最多只能在开区间可导。

一个函数在某一区间上连续（可导）指的是该函数在此区间的任意一点上连续（可导）。

至于判断在某一点上函数是否连续或可导，即判断某个极限是否存在。

判断函数f在点x0处是否连续，即判断极限lim(x--x0)f(x)是否存在且等于f(x0)。

判断函数f在点x0处是否可导，即判断极限lim(dx--0)(f(x+dx)-f(x))/dx是否存在。

对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。

设函数  在点  的某个邻域内有定义，如果有  ，则称函数在点  处连续，且称 为函数的的连续点。

一个函数在开区间  内每点连续，则为在  连续，若又在  点右连续，  点左连续，则在闭区间  连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。

显然，由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。

扩展资料：

如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。

间断有以下三种情况：

1在点  处  没有定义，在  为发散状态（y=tanx在x=kπ+π/2处无定义，并且在x=kπ+π/2处发散到无穷大）；

2在  无定义，趋近与  时连续波动（y=sin(1/x)在x=0处无定义，并且在0的某个去心邻域内无限振荡）；

3虽然  有定义，且  存在，但不等于  （分段函数在x=0处的左右极限都存在，但不等于f(0)）。

参考资料：

百度百科——可导函数

参考资料：

百度百科——连续函数

可导一定连续，连续不一定可导：

证明：

设y=f(x)在x0处可导，f'(x0)=A

由可导的充分必要条件有

f(x)=f(x0)+A(x-x0)+o（│x-x0│）

当x→x0时，f(x)=f(x0)+o（│x-x0│）

再由定理：当x→x0时，f(x)→A的充分必要条件是f(x)=A+a(a是x→x0时的无穷小）得，limf(x)=f(x0)。

导数存在和导数连续的区别：

一、满足条件不同

1、导数存在：只要存在左导数或者右导数就叫导数存在。

2、可导：左导数和右导数存在并且左导数和右导数相等才能叫可导。

二、函数连续性不同

1、导数存在：导数存在的函数不一定连续。

2、可导：可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

三、曲线形状不同

1、导数存在：曲线是不连续的，存在尖点或断点。

2、可导：可导的曲线形状是光滑的，连续的。没有尖点、断点。

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