“阿基里斯永远赶不上乌龟”的含义

芝诺悖论(Zeno's paradoxes)是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。这些悖论中最著名的两个是：“阿基里斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。这些方法现在可以用微积分（无限）的概念解释，但还是无法用微积分解决，因为微积分原理存在的前提是存在广延（如，有广延的线段经过无限分割，还是由有广延的线段组成，而不是由无广延的点组成。），而芝诺悖论中既承认广延，又强调无广延的点。这些悖论之所以难以解决，是因为它集中强调后来笛卡尔和伽桑迪为代表的的机械论的分歧点。这些悖论其实都可以简化为：1/0=无穷。 ------------------------------------------------------------------------------ 阿基里斯(Achilles)悖论阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！ “乌龟” 动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。 ” 如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑"数学派"所代表的毕达哥拉斯的" 1-0999>0"思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的"1-0999=0, 但1-0999>0"思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的"1-0999=0, 或1-0999>0"思想。 有人解释道：若慢跑者在快跑者前一段，则快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当他到达被追者的出发点，慢跑者又向前了一段，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。 芝诺当然知道阿基里斯能够捉住海龟，跑步者肯定也能跑到终点。 类似阿基里斯追上海龟之类的追赶问题，我们可以用无穷数列的求和，或者简单建立起一个方程组就能算出所需要的时间，那么既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什么理由说阿基里斯永远也追不上乌龟呢？然而问题出在这里：我们在这里有一个假定，那就是假定阿基里斯最终是追上了乌龟，才求出的那个时间。但是芝诺的悖论的实质在于要求我们证明为何能追上。上面说到无穷个步骤是难以完成。 以上初等数学的解决办法，是从结果推往过程的。悖论本身的逻辑并没有错，它之所以与实际相差甚远，在于这个芝诺与我们采取了不同的时间系统。人们习惯于将运动看做时间的连续函数，而芝诺的解释则采取了离散的时间系统。即无论将时间间隔取的再小，整个时间轴仍是由有限的时间点组成的。换句话说，连续时间是离散时间将时间间隔取为无穷小的极限。 其实这归根到底是一个时间的问题。譬如说，阿基里斯速度是10m/s，乌龟速度是1m/s,乌龟在前面100m。实际情况是阿基里斯必然会在100/9秒之后追上乌龟。按照悖论的逻辑，这100/9秒可以无限细分，给我们一种好像永远也过不完的印象。但其实根本不是如此。这就类似于有1秒时间，我们先要过一半即1/2秒，再过一半即1/4秒，再过一半即1/8秒，这样下去我们永远都过不完这1秒，因为无论时间再短也可无限细分。但其实我们真的就永远也过不完这1秒了吗？显然不是。尽管看上去我们要过1/2、1/4、1/8秒等等，好像永远无穷无尽。但其实时间的流动是匀速的，1/2、1/4、1/8秒，时间越来越短，看上去无穷无尽，其实加起来只是个常数而已，也就是1秒。所以说，芝诺的悖论是不存在的。 ----------------------------------------------------------------------------- 飞矢不动悖论 一支飞行的箭是静止的。 由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而是静止的，因此箭就不能处于运动状态。 </SPAN></p>

等比数列的求和公式Sn=a1（1-q^n)/(1-q)当|q |＜1(q≠0)，n→∞时，Sn=a1/(1-q)

在这里的q=1/10 , a1=1/10 所以 lim(n→∞)(1/10+1/100+…+1/10^n)=（1/10 ）/(1-1/10)=1/9

这个问题就和问为什么0111·····循环为什么等于1/9一样。

譬如说，阿基里斯速度是10m/s，乌龟速度是1m/s，乌龟在前面100m。实际情况为阿基里斯必然会在100/9秒之后追上乌龟。按照悖论的逻辑，这100/9秒可以无限细分，给一种好像永远也过不完的印象。但其实根本不是如此。

这就类似于有1秒时间，先要过一半即1/2秒，再过一半即1/4秒，再过一半即1/8秒，这样下去永远都过不完这1秒，因为无论时间再短也可无限细分。尽管看上去要过1/2、1/4、1/8秒等等，好像永远无穷无尽。

但其实时间的流动是匀速的，1/2、1/4、1/8秒，时间越来越短，看上去无穷无尽，其实加起来只是个常数而已，也就是1秒。所以说，芝诺的悖论是不存在的。

扩展资料

设乌龟先前所走过的所有的点属于集合B，乌龟现在所在的点标志为b，乌龟所走过的所有的点是集合A，A由集合B中所有的点加上b点构成。只要是乌龟先前所在的点，都是阿基里斯可以走到的，因而阿基里斯可以走到集合B中所有的点。

如果阿基里斯走过了集合B中所有的点，阿基里斯与b点的距离就已经是0（如果不是0，则应该在阿基里斯与b点之间还会存在着一个点，但这个点并不存在），也就是说，阿基里斯已经追上了乌龟。

而按照悖论所设定的条件，阿基里斯可以走到乌龟先前所走过的所有的点。因而阿基里斯追到了乌龟。但在上面的分析中发现了一个有趣的矛盾，这就是b既属于B又不属于B，也就是说，b既是现在又是先前。而且这是阿基里斯得以追上乌龟的前提和条件。

此悖论假设阿基里斯永远只能到达龟前一个时间段到达的地方，即追上的前一个时间段，此时条件未发生变化，并先承认此时间段两者间仍有差异，然后用不同的时间段进行重复换算，假设条件仍未变化。而在此时间段的下一个口径相同的时间段里，阿基米斯就会追上。

相反观点：这证明是错误的。因为证明假设了阿基里斯可以走一个点，在事实上回避了悖论中无法找第1点问题实质。故此证明和悖论无关，只是把小学应用题用集合论复述了一遍。

参考资料来源：百度百科-阿基里斯悖论

参考资料来源：百度百科-芝诺悖论

1米可以无限分一半。数学上1/0=无限。所以组成1米的最小长为0，1米也就不存在了，这才是问题所在。

下面证明最小长度：（数学自打脸模式）

最小长＝0000……1

最接近1的数＝0999……9

1/3=03333

09999 =03333+03333+03333= 1/3 + 1/3+ 1/3 = 1

所以0999……9 ＝ 1，

0000……1＝1－0999……9 ＝1 －1（代入上式） ＝0

上面证明 0000……1最小长度单位为 0

说明什么？长度不存在？空间不存在？时间不存在？……不存在？只是人的妄想？

一段长度不管多长都是无数个最小长度00001组成的，由于上面证明它等于0，所以阿基里斯连一步都无法走出去。

人的固执决定了这个问题是错误的，为什么不反过来想想我们面前的一切非真实呢？

佛陀是觉醒者，曾经说过：“凡所有相皆是虚妄”。我们面前能感知的一切都是由色、声、香、味、触，组成的，这此都是我们的主观感觉，并不等于客观的存在。“五蕴皆空”说的还是一个问题。凡夫以为芝诺在说一个悖论，然而智者想告诉人们的是这个世界真实存在吗？

你所了解的是真相吗？要摧毁的是你对世界的所有认知。

罗素悖论：设 S是由一切不属于自身的 所组成，即“S={x|x∉S}”。

那么问题是：S属于S是否成立？首先，若S属于S，则不符合x∉S，则S不属于S；其次，若S不属于S，则符合x∉S，S属于S。

说谎者悖论，又叫谎言者悖论。

西元前6世纪，克里特哲学家埃庇米尼得斯说了一句很有名的话：“我的这句话是假的。”句话之所以有名在于它没有答案。

因为如果埃庇米尼得斯的这句话是真的，那就不符合这句话“我的这句话是假的”，则这句话是假的；如果这句话是假的，那就符合这句话“我的这句话是假的”，则这句话是真的。

因此这句话是无解的。

这就是一个自我指涉引发的悖论。

柏拉图-苏格拉底悖论。

柏拉图说：“苏格拉底的下句话是错误的”。

苏格拉底说：“柏拉图说得对。”不论你假定哪个句子是真的，另一个句子都会与之矛盾。

两个句子都不是自我诠释，但作为一个整体，同样构成了说谎者悖论。

阿基里斯悖论。

公元前5世纪，芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。

当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10,乌龟仍然前于他10米。

当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍然前于他1米…… 芝诺认为，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但决不可能追上它。

外祖母悖论。

如果一个人真的“返回过去”，并且在其外祖母怀他母亲之前就杀死了自己的外祖母，那么这个跨时间旅行者本人还会不会存在呢？这个问题很明显，如果没有他的外祖母就没有他的母亲，如果没有他的母亲也就没有他，如果没有他，他怎么“返回过去”，并且在其外祖母怀他母亲之前就杀死了自己的外祖母。

二分法悖论：运动是不可能的，因为运动的物体在到达目的地之前必须到达路程的中间点，而在它到达中间点之前，他又必须到达路程的四分之一点，等等，没有穷尽。因此运动甚至永远不能开始。

阿基里斯（希腊的神行太保）悖论：奔跑中的阿基里斯永远也不能超过在他前面慢慢爬行的乌龟，因为他必须首先到达乌龟的出发点，而当他到达那一点时，乌龟又向前爬了，所以仍在他前面。重复这个论点，我们很容易看出乌龟总是在前面。

箭的悖论：飞矢在任何瞬间都是既非静止也非运动。如果瞬刻是不可分的，箭就不能运动，因为如果它动了，瞬刻就立即是可分的了。但是时间由瞬刻组成，如果箭在任一瞬刻都不动，它在任何时间也不能动，因此它总是保持静止。

操场悖论：“为了证明一半的时间可以等于两倍的时间，考虑三行物体，

位置一 位置二

(A) 0 0 0 0 (A) 0 0 0 0

(B) 0 0 0 0 (B) 0 0 0 0

(C) 0 0 0 0 (C) 0 0 0 0

位置二中的一个（A）静止，而其它两个（B）、（C）以等速向相反方向运动。当它们都在路程中的同一距离时，（B）通过（A）中的一个物体时就将通过（C）中的两个物体。因此它通过（A）的时间就是它通过（C）的时间的二倍。但（B）和（C）到达（A）的位置所需要的时间相同。因此两倍的时间等于一半的时间。”

这四个悖论体现的是连续和离散的对立，前两个说明连续是不可能的，而后两个则暗示离散是不可能的。假如你承认连续，会得到前两个悖论，而承认离散，则得到后两个悖论——它们都和事实不符。据说这是他在一次访问雅典的时候发明的，它们把一些自鸣得意的哲学家震惊得不知所措。对当时的人来说，这全部四个悖论构成了一堵铁墙，只要你承认他言之有理，那就不可能再往前推进。

其实第四个悖论是犯了错误导致的，很明显，他搞错了参照系。但这也说明一个问题，那就是——以非数学的语言来叙述这些问题，那是非常困难的，会把人引到错误的方向。

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