实数的概念
实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。
实数集通常用黑正体字母
R
表示。而
表示
n
维实数空间。实数是不可数的。实数是实数
理论的核心研究对象。
实数可以用来测量连续的量。
理论上，
任何实数都可以用无限小数的方式表示，
小数点的右
边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近
似成一个有限小数（保留小数点后
n
位，
n
为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能
存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。
实数的运算法则
1
、加法法则：
（
1
）同号两数相加，取相同的符号，并把它们的绝对值相加；
（
2
）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
可使用①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．即：
②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．即：
2
、减法法则：
减去一个数等于加上这个数的相反数。即
a-b=a+(-b)
3
、乘法法则：
（
1
）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。
（
2
）
n
个实数相乘，有一个因数为
0
，积就为
0
；若
n
个非
0
的实数相乘，积的符号由负因
数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。
（
3
）乘法可使用①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．即：
．
②乘法结合律
：
三个数相乘，
先把前两个数相乘，
或者先把后两个数相乘，
积不变．
即：
。
③分配律
：
一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相
加．即：
．
4
、除法法则：
（
1
）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
（
2
）除以一个数等于乘以这个数的倒数。即
（
3
）
0
除以任何数都等于
0
，
0
不能做被除数。
5
、乘方：
所表示的意义是
n
个
a
相乘，即
正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．
乘方与开方互为逆运算。
6
、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如
果没有括号，
在同一级运算中要从左到右依次运算，
不同级的运算，
先算高级的运算再算低
级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。
整数中,能够被2整除的数,叫做偶数不能被2整除的数是奇数
包括有理数和无理数其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括整数和分数数学上,实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数
自然数，非负整数集合；
正整数 1,2,3……数列组成的集合；
整数 自然数,负整数的集合；
有理数 可表示为分数的数的集合；
无理数 不可表示为分数的无限不循环小数的集合；
实数 有理数,无理数的集合。
有理数
是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。
整数也可看做是分母为一的分数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。是“数与代数”领域中的重要内容之一，在现实生活中有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。
实数（real number）是有理数和无理数的总称，定义为与数轴上的实数，点相对应的数，是实数理论的核心研究对象，它与虚数共同构成复数。 实数可以分为有理数和无理数或代数和超越数。实数集通常用黑正体字母R表示，R表示n维实数空间。所有实数的集合则可称为实数系（real number system）或实数连续统。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。
基本运算
实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数（即正数和0）还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。
性质
封闭性
实数集对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。
有序性
实数集是有序的，即任意两个实数、必定满足并且只满足下列三个关系之一：，，。
传递性
实数大小具有传递性，即若，且，则有。
阿基米德性质
实数具有阿基米德性质（Archimedean property），即，，若，则∃正整数，。
稠密性
实数集具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数。
完备性
作为度量空间或一致空间，实数集合是个完备空间，它有以下性质：
一、所有实数的柯西序列都有一个实数极限。
有理数集合就不是完备空间。例如，(1, 14, 141, 1414, 14142, 141421, ) 是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。实际上，它有个实数极限。
实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法。
极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”。
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