可微、可导、连续、偏导存在、极限存在之间的关系是什么

具体见图：

设函数y= f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)，其中A与Δx无关，则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx，当x= x0时，则记作dy∣x=x0。

如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。

函数可导定义：

（1）设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在, 则称f(x)在x0处可导。

（2）若对于区间(a,b)上任意一点m，f(m)均可导，则称f(x)在(a，b)上可导。

利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。如：

（1）函数在 点连续的定义，是当自变量的增量趋于零时，函数值的增量趋于零的极限。

（2）函数在 点导数的定义，是函数值的增量 与自变量的增量 之比 ，当 时的极限。

（3）函数在 点上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限。

（4）数项级数的敛散性是用部分和数列 的极限来定义的。

（5）广义积分是定积分其中 为，任意大于 的实数当 时的极限，等等。

扩展资料：

可微必要条件：若函数在某点可微分，则函数在该点必连续；若二元函数在某点可微分，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

可微充分条件：若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义，函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。

可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

设{xn} 是一个数列，如果对任意ε>0，存在N∈Z，只要 n 满足 n > N，则对于任意正整数p，都有  ，这样的数列  便称为柯西数列。

参考资料：

百度百科——可微

参考资料：

百度百科——可导

参考资料：

百度百科——连续

参考资料：

百度百科——偏导数

参考资料：

百度百科——极限

这个关系很复杂

先说可导和可微

对于单元函数 可微和可导是相同的

但对于多元函数则不一样

多元函数中各个偏导函数连续才能推出可微

多元函数可微则可以推出各偏导存在、各个方向的方向导数存在

可导的话一定连续

但连续不一定可导~

证连续的一般方法是左极限=右极限

所以如果极限存在的话一定连续

极限存在、连续都不能推出可导

但反之能推出~~

证可导的方法除了定义还就是左导-右导

反证这反面的问题很复杂要不断整理才能明白 ~ ~

对于一元函数来说

可微与可导意义上略有区别

但计算上实际上是一回事

即函数y=f(x)如果可导

就一定是可微的

那么如果导数y'=f'(x)

即微分为dy=f'(x) dx

设y=f(x)是一个单变量函数，

如果y在x=x[0]处存在导数y'=f'(x),则称y在x=x[0]处可导。

如果一个函数在x[0]处可导，那么它一定在x[0]处是连续函数

如果一个函数在x[0]处连续，那么它在x[0]处不一定可导

函数可导定义：

（1）若f(x)在x0处连续,则当a趋向于0时,

[f(x+a)-f(x)]/a存在极限,

则称f(x)在x0处可导

（2）若对于区间(a,b)上任意一点m,f(m)均可导,则称f(x)在(a,b)上可导

函数可导的条件

如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在，它的左右极限存在且相等）推导而来

一元函数中可导与可微等价，它们与可积无关。

多元函数可微必可导，而反之不成立。

即：

在一元函数里，可导是可微的充分必要条件；

在多元函数里，可导是可微的必要条件，可微是可导的充分条件。

如下参考：

连续不一定有偏导，更不一定可微，有偏导不一定连续，也不一定可微。可微则偏导存在，有连续的偏导一定可微（充分条件）。

设函数y＝f（x）如果自变量的变化点x，δx与函数的对应变化关系，δY，δY＝A×δx＋οδx），一个是独立于δx，然后调用函数F（x）可微点x，称之为δx的导数函数F（x）点x。我们称之为dy，也就是说，dy＝ax×δx，dy∣x等于x0。

连续函数：

函数f（x，y）在D中是连续的如果它在区域D的每一点上都是连续的。

所有二元初等函数在其定义区域内都是连续的。定义区域是指包含在定义域中的区域或封闭区域。

在有界闭区域D上的二元连续函数必须在D上有界，并且可以得到其最大值和最小值。

在有界封闭区域D上的二元连续函数必须达到最大值和最小值之间的任意值。

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