什么是内心、外心、重心、垂心 （从数学图形的角度 解释）

正三角形的重心、垂心、外心、内心重合的点叫中心

一个物体的各部分都要受到重力的作用。从效果上看，我们可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫做物体的重心。

重心的几条性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3

5、三角形内到三边距离之积最大的点

三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。

锐角三角形垂心在三角形内部。

直角三角形垂心在三角形直角顶点。

钝角三角形垂心在三角形外部。

垂心是高线的交点

垂心是从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线的交点。

三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。

直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心叫做旁心。旁心是一个三角形内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点，它到三边的距离相等。。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

三角形的外心是三角形外接圆的圆心,即3条边的垂直平分线的交点

内心是内切圆的圆心,即3条角平分线的交点

垂心是3条边的高线的交点

重心是3条中线的交点

1重心是中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为(1/3,1/3,1/3)。

2三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。锐角三角形垂心在三角形内部。

直角三角形垂心在三角形直角顶点。

钝角三角形垂心在三角形外部。

3内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。

4外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

三角形共有五心：

内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

性质：到三边距离相等。

外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

性质：到三个顶点距离相等。

重心：三条中线的交点。

性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。

垂心：三条高所在直线的交点。

性质：此点分每条高线的两部分乘积

旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点

性质：到三边的距离相等。

6三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和。

参考资料：

解：三角形三条中线的交点称重心，重心将中线分成2:1，顶住均匀三角形的重心可以平衡三角形；三条高的交点称垂心锐角三角形的垂心在三角形内部，直角三角形的垂心在直角顶点，钝角三角形垂心在三角形外面；三条边垂直平分线的交点称外心外心到三角形三个顶点距离相等，即外接圆的圆心；三条角平分线的交点叫内心内心到各边距离相等，即三角形内切圆的圆心；每两个外角平分线交点叫旁心，旁心即旁切圆圆心，每个三角形有三个旁心。重心、垂心、外心、内心、旁心统称三角形五心。

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