三阶行列式和别的行列式一样，因行列式的结构而异，有多种计算方法。
如：1)按定义展开
D3=a11a22a33-a11a23a32+a12a23a31-a12a21a33+a13a21a32-a13a22a31
；
2）按基本性质化简为《上三角》或《下三角》；
3）逐次降阶：D3=a13A13+a23A23+a33A33=a13M13-a23M23+a33M33
(若某一行或列有两个元素为零，则Aij、Mij都是比D3低一阶的行列式）
另外，六条《对角线》法则用起来也很有效。
下三角形列式计算公式是：a11•a22•…ann。
三角形行列式是一种特殊的行列式，行列式分别称为上三角形行列式和下三角形行列式，亦称上三角行列式和下三角行列式，统称三角形行列式。
下三角矩阵：
一个矩阵称为下三角矩阵如果对角线上方的元素全部为0。类似地，一个矩阵称为上三角矩阵如果对角线下方的元素全部为0。
许多矩阵运算保持下三角性不变:
1、两个下三角矩阵的和下三角。
2、两个下三角矩阵的乘积是下三角。
3、一个可逆的下三角矩阵的逆是下三角。
4、下三角矩阵与常数相乘是一个下三角矩阵。以上性质对上三角矩阵也成立。
2,3阶行列式的对角线法则,
4阶以上(含4阶)是没有对角线法则的!
解高阶行列式的方法
一般有
用性质化上(下)三角形,上(下)斜三角形,
箭形(爪形)
按行列展开定理
Laplace展开定理
加边法
递归关系法
归纳法
特殊行列式(如Vandermonde行列式)
二阶行列式的计算方法：用主对角线上的数的乘积，减去副对角线上的数的乘积，所得结果就是二级行列式的值。 扩展资料
二阶行列式是四个数排成两行两列，用一种称为对角线法则计算得出的数，从左上角到右下角上元素相乘，取正号，右上角和左下角上元素相乘，取负号，两个乘积的代数和就是二阶行列式的值。
二阶行列式指4个数组成的符号，其概念起源于解线性方程组，是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的，因此我们首先讨论解方程组的问题。行列式是一个重要的数学工具，不仅在数学中有广泛的应用，在其他学科中也经常遇到。
历史上，最早使用行列式概念的是17世纪德国数学家莱布尼兹，后来瑞士数学家克莱姆於1750年发表了著名的用行列式解线性方程组的克莱姆法则，首先将行列式的理论脱离开线性方程组的是数学家范德蒙，1772年他对行列式作出连贯的逻辑阐述
法国数学家柯西于1841年首先创立了现代的行列式概念和符号，包括行列式一词的使用，但他的某些思想和方法是来自高斯的。在行列式理论的形成与发展的过程中做出过重大贡献的还有拉格朗日、维尔斯特拉斯、西勒维斯特和凯莱等数学家。
简单地说，行列式的主要功能体现在计算机科学中
现在数学课上学习行列式，就是为了让我们理解一些计算原理
我先讲行列式怎么计算吧
二阶行列式（行列式两边的竖线我不会打，看得懂就行）：
a b
c d
它的值就等于ad-bc，即对角相乘，左上-右下的那项为正，右上-左下的那项为负
三阶行列式：
a b c
d e f
g h i
它的值等于aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg，你在纸上用线把每一项里的三个字母连起来就知道规律了
计算机就是用行列式解方程组的
比如下面这个方程组：
x+y=3
x-y=1
计算机计算的时候，先计算x,y系数组成的行列式D：
1 1
1 -1
D=-2
然后，用右边两个数（3和1）分别代替x和y的系数得到两个行列式Dx和Dy：
3 1
1 -1
Dx=-4
1 3
1 1
Dy=-2
用Dx除以D，就是x的值，用Dy除以D，就是y的值了
行列式按行列展开法则如下：
行列式依行展开是计算行列式的一种方法，设ai1，ai2，…，ain (1≤i≤n)为n阶行列式D=|aij|的任意一行中的元素，而Ai1，Ai2，…，Ain分别为它们在D中的代数余子式，则D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin称为行列式D的依行展开。
如果行列式D的第i行各元素与第j行各元素的代数余子式对应相乘后再相加，则当i≠j时，其和为零，行列式依行或依列展开不仅对行列式计算有重要作用，且在行列式理论中也有重要的应用。
行列式的性质：
1行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。
2行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。
3若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。
4行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。
5把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。
行列式相加减的规则是：行列式是相同的行数和列数。行列式中对应的两边的行列数进行相减。行列数进行相加时，两个行列式相差一行或者一列，主要是相同的行列不变，不同的行列相加或者相减。
行列式是根据线性函数进行理解的，因此在计算的时候，可以利用函数规则。行列式的学习是复杂的，在学习的过程中，一定要先理解清楚行列式的相关运算规则，然后进行运算。
行列式的学习技巧
第一，学会公式，看准定义。如：行列式两行交换，行列式反号；行列式的乘积是相等的。这些数学公式在函数或者代数的学习中是比较重要的，要求学生在做题的过程中需要掌握足够多的技巧，才能正确理解题目，并解答出问题，得到正确答案。
第二，利用平面空间或者几何图形进行学习。如：利用逐行逐列相加的运算法则或者乘积的法则计算某个几何图形的面积。逐行逐列相加法是将第一行（列）加（减）到第二行，获得的新的第二行再拿去加（减）第三行。
这种方式和我们常说的相消法存在联系，比如发现前（后）一行（列）中的元素如果去掉“某个元素”后，再和下一行（列）相加减，就能把下一行（列）的某些元素消去，而不带来新的元素。
第一章
行列式1．把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排列（也简称排列）2．n个不同元素的所有排列的种数,通常用Pn表示Pn=n!3．当某两个元素的先后次序与先规定好的标准次序不同时,就说有1个逆序,所有逆序的总数叫这个排列的逆序数逆序数为奇的排列叫做奇排列,逆序数为偶的排列叫做偶排列4．n阶行列式定义
个数,排成n行n列的数表做出表中位于不同行不同列的n个数的乘积,并冠以符号（-1）的t次方,t为行按从小到大一次排列后,列标的逆序数5．n阶行列式记作det（aij）,计算n阶行列式,首先必须做出所有可能的不同行,不同列的n个元素的乘积,把这些乘积的第一个下标（行标）按自然顺序排列,然后再看列标排列的奇偶性5．定理1
一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性推论
奇排列变成标准排列对换次数为奇数,偶排列变成标准排列对换次数为偶数6．定理2
n阶行列式也可以按列定义,两者是相等的见书9页7．性质1
行列式与其转置行列式相等（转置
行列互换）8．性质2
互换行列式两行（列）,行列式相等推论
果行列式有两行（列）完全相同,此行列式等于零9．性质3
行列式的某一行（列）中的元素都同时乘以同一数k,等于用数k乘次行列式推论
列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面10性质4
行列式如果有两行（列）元素成比例,此行列式等于零推论
列式有一行（列）全为零,此行列式等于零11性质5
若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,则行列式等于将这一列（行）分开到两个行列式之中的对应位置,其余元素的位置不变组成的两个行列式之和性质5表明：当某一行（列）的元素为两数之和时,行列式关于该行（列）可以分解为两个行列式若n阶行列式每个元素都表示为两数之和,则它可分解成2的n次方个行列式12性质6
把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去,行列式不变结论
任何n阶行列式总能利用运算ri+krj化为上三角行列式,或下三角行列式书7页
例5
例6
书14页
例10
例1113在n阶行列式中,把（i,j）元aij所在的第i行和第j列划去后,留下来的n-1阶行列式叫做（i,j）元aij的余子式,记做Mij；记Aij=
MijAij叫做（i,j）元aij的代数余子式14引理
一个n阶行列式,如果其中第i行所有元素除（i,j）元aij外都为零,那么这行列式等于aij与它的代数余子式的乘积,即D=aij
Aij15定理3
行列式等于它的任一行（列）的个元素与其对应的代数余子式乘积之和推论
行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应的元素的代数余子式乘积之和等于零书17-19
例1216克拉默法则
如果线性方程组的系数行列式不等于零,那么,方程组有惟一解X1=D1/D
X2=D2/D
Xn=Dn/D17定理4
如果线性方程组的系数行列式不等于零,则其一定有惟一解定理4’
如果线性方程组无解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零18定理5
如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零,则齐没有非零解定理5’
如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零
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