勾股数的规律总结

勾股数，又名毕氏三元数，就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。接下来看一下勾股数的规律有哪些。

勾股数的规律

（1）当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n²+2n,c=2n²+2n+1。实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：

n=1时(a,b,c)=(3,4,5)

n=2时(a,b,c)=(5,12,13)

n=3时(a,b,c)=(7,24,25)

（2）当a为大于4的偶数2n时，b=n²-1,c=n²+1，也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：

n=3时(a,b,c)=(6,8,10)

n=4时(a,b,c)=(8,15,17)

n=5时(a,b,c)=(10,24,26)

20以内的勾股数

勾股数的3条规律:1、凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。2、在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。3、在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续整数之和的二倍。

规律一：在勾股数（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）（9，40，41）中，我们发现：

由（3，4，5）有：3 2 =9=4+5；

由（5，12，13）有：5 2 =25=12+13；

由（7，24，25）有：7 2 =49=24+25；

由（9，40，41）有：9 2 =81=40+41。

即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。因此，我们把它推广到一般，从而可得出以下公式：

∵（2n+1） 2 =4n 2 +4n+1=（2n 2 +2n）+（2n 2 +2n+1）

∴（2n+1） 2 +（2n 2 +2n） 2 =（2n 2 +2n+1） 2 （n为正整数）

勾股数公式一：（2n+1，2n 2 +2n，2n 2 +2n+1）（n为正整数）。

规律二：在勾股数（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中，我们发现：

由（6，8，10）有：6 2 =36=2×（8+10）；

由（8，15，17）有：8 2 =64=2×（15+17）；

由（10，24，26）有：10 2 =100=2×（24+26）；

即在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续整数之和的二倍，推广到一般，从而可得出另一公式：

∵（2n） 2 =4n 2 =2[（n 2 -1）+（n 2 +1）]

∴（2n） 2 +（n 2 -1） 2 =（n 2 +1） 2 （n≥2且n为正整数）

勾股数公式二：（2n，n 2 -1，n 2 +1）（n≥2且n为正整数）。

问题一：勾股数有什么规律？？ 在直角三角形中，若以a、b表示两条直角边，c表示斜边，勾股定理可以表述为a2+b2=c2。

满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数。

例如（3、4、5），（5、12、13），（6、8、10），（7、24、25）等一组一组的数，每一组都能满足a2+b2=c2，因此它们都是勾股数组（其中3、4、5是最简单的一组勾股数）。显然，若直角三角形的边长都为正整数，则这三个数便构成一组勾股数；反之，每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形。因此，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义。

1．任取两个正整数m、n，使2mn是一个完全平方数，那么

c=2+9+6=17。

则8、15、17便是一组勾股数。

证明：

∴a、b、c构成一组勾股数

2．任取两个正整数m、n、(m＞n)，那么

a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2构成一组勾股数。

例如：当m=4，n=3时，

a=42-32=7,b=2×4×3=24，c=42+32=25

则7、24、25便是一组勾股数。

证明：

∵ a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2

=m4-2m2n2+n4+4m2n2

=m4+2m2n2+4n2

=(m2+n2)2

=c2

∴a、b、c构成一组勾股数。

3．若勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下的方法确定另外两个数。

首先观察已知数是奇数还是偶数。

(1)若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。

例如9是勾股数中的一个数，

那么9、40、41便是一组勾股数。

证明：设大于1的奇数为2n+1，那么把它平方后拆成相邻的两个整数为

(2)若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数。

例如8是勾股数组中的一个数。

那么8、15，17便是一组勾股数。

证明：设大于2的偶数2n，那么把这个偶数除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得的两个整数为n2-1和n2+1

∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1

=n4+2n2+1

=(n2+1)2

∴2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数。

问题二：勾股数有什么规律？ 在直角三角形中，若以a、b表示两条直角边，c表示斜边，勾股定理可以表述为a2+b2=c2。 满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数。 例如（3、4、5），（5、12、13），（6、8、10），（7、24、25）等一组一组的数，每一组都能满足a2+b2=c2，因此它们都是勾股数组（其中3、4、5是最简单的一组勾股数）。显然，若直角三角形的边长都为正整数，则这三个数便构成一组勾股数；反之，每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形。因此，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义。 1．任取两个正整数m、n，使2mn是一个完全平方数，那么 c=2+9+6=17。 则8、15、17便是一组勾股数。 证明： ∴a、b、c构成一组勾股数 2．任取两个正整数m、n、(m＞n)，那么 a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2构成一组勾股数。 例如：当m=4，n=3时， a=42-32=7,b=2×4×3=24，c=42+32=25 则7、24、25便是一组勾股数。 证明： ∵ a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+4n2 =(m2+n2)2 =c2 ∴a、b、c构成一组勾股数。 3．若勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下的方法确定另外两个数。 首先观察已知数是奇数还是偶数。 (1)若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。 例如9是勾股数中的一个数， 那么9、40、41便是一组勾股数。 证明：设大于1的奇数为2n+1，那么把它平方后拆成相邻的两个整数为 (2)若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数。 例如8是勾股数组中的一个数。 那么8、15，17便是一组勾股数。 证明：设大于2的偶数2n，那么把这个偶数除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得的两个整数为n2-1和n2+1 ∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1 =n4+2n2+1 =(n2+1)2 ∴2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数。

问题三：勾股数都具有哪些规律 两个小数的平方和是大数的平方

我们老师是这样讲的 应该对的

问题四：勾股数有哪些 常见的勾股数及几种通式有：

(1) （3， 4， 5）, （6， 8，10） … …

3n,4n,5n (n是正整数)

(2) （5，12，13） ,（ 7，24，25）, （ 9，40，41） … …

2n ＋ 1, 2n^2 ＋ 2n, 2n^2 ＋ 2n ＋ 1 (n是正整数)

(3) (8，15，17), (12，35，37) … …

2^2*(n＋1),[2(n＋1)]^2－1，[2(n＋1)]^2＋1 (n是正整数)

(4)m^2－n^2,2mn,m^2＋n^2 (m、n均是正整数，m>n)

简单列出一些：

3 4 5

5 12 13

7 24 25

9 40 41

11 60 61

13 84 85

15 112 113

8，15，17

12，35，37

20，21，29

20，99，101

48，55，73

60，91，109

问题五：勾股数有哪些 设三个数分别为i,j,k

i=3 j=4 k=5；

i=5 j=12 k=13；

i=6 j=8 k=10；

i=7 j=24 k=25；

i=8 j=15 k=17；

i=9 j=12 k=15；

i=9 j=40 k=41；

i=10 j=24 k=26；

i=11 j=60 k=61；

i=12 j=16 k=20；

i=12 j=35 k=37；

i=13 j=84 k=85；

i=14 j=48 k=50；

i=15 j=20 k=25；

i=15 j=36 k=39；

i=16 j=30 k=34；

i=16 j=63 k=65；

i=18 j=24 k=30；

i=18 j=80 k=82；

i=20 j=21 k=29；

i=20 j=48 k=52；

i=21 j=28 k=35；

i=21 j=72 k=75；

i=24 j=32 k=40；

i=24 j=45 k=51；

i=24 j=70 k=74；

i=25 j=60 k=65；

i=27 j=36 k=45；

i=28 j=45 k=53；

i=30 j=40 k=50；

i=30 j=72 k=78；

i=32 j=60 k=68；

i=33 j=44 k=55；

i=33 j=56 k=65；

i=35 j=84 k=91；

i=36 j=48 k=60；

i=36 j=77 k=85；

i=39 j=52 k=65；

i=39 j=80 k=89；

i=40 j=42 k=58；

i=40 j=75 k=85；

i=42 j=56 k=70；

i=45 j=60 k=75；

i=48 j=55 k=73；

i=48 j=64 k=80；

i=51 j=68 k=85；

i=54 j=72 k=90；

i=57 j=76 k=95；

i=60 j=63 k=87；

i=65 j=72 k=97这是100以内的

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