射影定理具体内容

直角三角形射影定理（又叫欧几里德(euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式

，对于rt△abc，∠bac=90度，ad是斜边bc上的高，则有射影定理如下：（ad）^2=bd·dc，（1）（ab）^2=bd·bc，（2）（ac）^2=cd·bc

。（3）这主要是由相似三角形来推出的，例如（ad）^2=bd·dc：

射影定理如下：

①CD²=AD·BD

②AC²=AD·AB

③BC²=BD·AB

④AC·BC=AB·CD

验证推导如下

证明：①∵CD²+AD²=AC²,CD²+BD²=BC²

∴2CD²+AD²+BD²=AC²+BC²

∴2CD²=AB²-AD²-BD²

∴2CD²=(AD+BD)²-AD²-BD²

∴2CD²=AD²+2AD·BD+BD²-AD²-BD²

∴2CD²=2AD·BD

∴CD²=AD·BD

②∵CD²=AD·BD(已证)

∴CD²+AD²=AD·BD+AD²

∴AC²=AD·(BD+AD)

∴AC²=AD·AB

③BC²=CD²+BD²

BC²=AD·BD+BD²

BC²=(AD+BD)·BD

BC²=AB·BD

∴BC²=AB·BD

④∵S△ACB=1/2 AC×BC=1/2 AB·CD

∴ 1/2AC·BC= 1/2AB·CD

∴AC·BC=AB·CD

参考资料来源：百度百科-射影定理

简单点说  可以用三角形相似来证明

在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°

∴∠ABD=∠C，

又∵∠BDA=∠BDC=90°

∴△BAD∽△CBD

∴ AD/BD=BD/CD

即BD²=AD·DC。其余同理可得可证[1]

有射影定理如下：

AB²=AD·AC，BC²=CD·CA

两式相加得：

AB²+BC²=（AD·AC）+（CD·AC） =（AD+CD)·AC=AC² 。[1]

用勾股定理证射影定理

∵AD²=AB²-BD²=AC²-CD²,

∴2AD²=AB²+AC²-BD²-CD²=BC²-BD²-CD²=(BC+BD)(BC-BD)-CD²=(BC+BD)CD-CD²=(BC+BD-CD)CD=2BD×CD

故AD²=BD×CD

运用此结论可得:AB²=BD²+AD²=BD²+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC,

AC² =CD²+AD²=CD²+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB

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