求值域的三种方法

值域的解法有配点法、单调性法、观察法、导数法、分离常数法、逆矩阵法、镜像法、不等式法、函数有界法、换元法、数形结合法、判别式法。分数函数值域(最大值)的求解是高中数学中的一个重要问题。这类问题涉及到换变量、化归变换、分类讨论、函数与方程、数形结合等基本的数学思维方法。

范围，一个数学术语。在函数的经典定义中，因变量的变化而变化的值的范围称为这个函数的值域。在函数的现代定义中，它是指在某种对应规则下，一个定义域中所有元素对应的所有图像的集合。如果:f(x)=x，那么f(x)的取值范围就是函数f(x)的取值范围。在实数分析中，函数的值域是实数，而在复数域中，值域是复数。

“范围”和“取值范围”是我们在学习中经常遇到的两个概念。很多同学经常混淆。其实是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合(即集合中的每个元素都是这个函数值)，而“值域”只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的所有元素不一定都满足这个条件)。也就是说，范围是范围，但范围不一定是范围。

定义域、对应规则和值域是函数构造的三个基本“元素”。在平时的数学中，毫无疑问贯彻了“定义域优先”的原则。但是，任何事物都具有双重性，在强化定义域问题的同时，往往又被弱化或淡化。定义域问题的探索造成了一手“硬”，一手“软”，使得学生对函数的掌握时好时坏。其实域和域是同一个位置，一定不能厚此薄彼，更不能总是处于相互转化的过程中。如果函数的取值范围是一个无穷集合，那么要找到函数的取值范围并不总是容易的，依靠不等式的运算性质有时也是无效的。函数值还必须考虑它的奇偶性、单调性、有界性和周期性。为了得到正确答案，从这个角度来说，评价域的问题有时比求解域的问题更难。实践证明，如果加强对值域求解的研究和讨论，将有利于对定义域中函数的理解，从而加深对函数本质的理解。