到目前为止,数学中还没有一个真正被所有数学家接受的混沌定义。混沌这个词的使用和它本身一样混乱,这个词已经进入数学和其他科学和非科学领域并广为人知。一方面是与人们日常知识的反差,另一方面很大程度上是概念炒作的结果(科学家的水平往往与名气不成正比,炒一个概念可能意味着更多的名利,或者给一篇论文)。数学家对混沌概念的一般理解,主要是指系统的复杂性(未来的不可预测性)高。至于如何判断或描述复杂程度,众说纷纭。题目中提到的三个性质是数学家德瓦尼对混沌的定义,又称德瓦尼混沌。虽然题目中没有给出严格的数学定义,但就基本思想而言,抓住了要点。注意,这个定义的纯数学版完全是拓扑的,确实不够直观。三个属性中的后两个可以退出第一个。混乱的关键在于第一个。第二个实际上只保证了系统的独立性,也就是说系统是一个整体,不可分割。就好像月球绕着地球转,分不开,而如果我们考虑整个太阳系,土星的卫星跟着土星转,所以和地球、月亮没有关系。那么太阳系就可以分成很多子系统。当然,每个子系统都可以满足第二个,也就是可以是“德维尼混沌”。注意第二个不叫拓扑混合,叫拓扑转移。条件比拓扑混合弱。当第二条满足后,第一条和第三条其实是关于系统的复杂度。第三条其实就是人们常说的“蝴蝶效应”。蝴蝶效应的本质并不是一个小的变化极大地改变了未来的结果,而是小的误差通过系统的演化不断被放大,使得未来系统的长期演化难以预测。比如7天以上的天气预报必然是不准确的,因为即使模型100%准确,测算的准确性也是有限的。真正的混沌是指在系统确定的情况下(即一个初值对应的未来可能性只有一种),由于初值的微小差异而导致的系统未来“看似”随机的现象。举个栗子,从圆周率开始,每秒去掉整数部分,然后乘以10,也就是所有数字都前进一。这是一个完全确定的过程,π也是一个确定的数。但即使你能记住1000个数字,20分钟后这个数字会变成什么,你也完全不知道。最后是周期轨道。在自然生活中,我们总结的很多所谓的规律都是周期性的现象。复杂系统的变化,如果是有规律的,基本上就是周期性的变化,是稳定的周期性现象,即不管初值如何,最终都会出现的一种周期性现象。就像一个钟摆。比如宇宙一开始可能不是绕着太阳转,然后周期性的绕着太阳转。而一个系统可能有不同的周期,即不同周期的周期轨道。例如,地球绕太阳一周的时间不同于月球绕地球一周的时间。再比如(刚性)钟摆,可以围绕低端配件摆动。也可能在顶部静止不动(不动也是一个时期),但是顶部不动是不稳定的,轻微脱落,我们一般是观察不到的。通常我们只能观察到一个稳定的周期性现象。但当周期轨道密集时,往往不存在稳定的周期轨道,系统可能呈现各种准周期(即“貌似”而非真实周期),通常准周期不会持续很久。一般来说,这是一个看似随机的运动。最后补充一下,我所在的动力系统领域的数学家对混沌定义的普遍看法是用熵来描述的,大概意思是初始值的微小变化在未来会被放大。取对数后,一般是非负的。一般来说,正熵意味着混沌。熵的好处是可以描述系统的复杂程度,也就是混沌的程度,也就是比较不同的系统哪个“更混沌”。