代数式的乘除中学代数的代数式是从数的概念发展而来的，所以保留了数的许多特征，研究内容和方法也差不多。比如代数表达式的四则运算在很多方面可以和数的四则运算相提并论；正如数字的运算在算术中起着重要的作用一样，代数表达式的运算也是代数中最基础的部分。广泛应用于化简、求值、常数变形、解方程等问题。通过代数表达式的运算，学生可以在准确理解代数表达式相关概念和规则的基础上，进一步提高运算能力。因此，本次讲座重点介绍代数表达式运算中的乘除法。
它是代数表达式多项式和单项式的总称。代数表达式的乘除主要是多项式的乘除。我们先来复习一下代数式计算的常用公式，然后分析例题。
正整数幂的算法:
(1)aM an = aM n；(2)(ab)n = anbn；
(3)(aM)n = aMn；(4)aM÷an=aM-n(a≠0，m > n)；
常用乘法公式:
(1)(a b)(a b)= a2-B2；
(2)(a b)2 = a2 2ab B2；
(4)(d b)3 = a3 3a 2b 3a B2 B3；
(5)(a b c)2=a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca。
例1求[x3-(x-1)2](x-1)展开后x2项的系数。
解[x3-(x-1)2](x-1)= x3(x-1)-(x-1)3。因为x2项只出现在-(x-1) 3中，只要看看-(x-1)3=(1-x)3中x2项的系数就知道了..
(1-x)3=1-3x 3x2-x3，
所以x2项的系数是3。
讲解乘法公式的应用，关键是要理解公式中字母的广义含义，不要混淆公式中的项数、次数、符号、系数，正确、熟练、灵活地使用，会给解题带来很大的方便。
(x-2)(x2-2x 4)-x(x 3)(x-3) (2x-1)2。
原始解决方案=(x3-2x24x-2x24x-8)-x(x2-9)(4x 2-4x 1)
=(x3-4x2 8x-8)-(x3-9x) (4x2-4x 1)
=13x-7=9-7=2。
请注意，本例中的(x-2) (x2-2x4) ≠ x3-8。
3化简(1 x)[1-x x2-x3 … (-x)n-1]，其中n为大于1的整数。
原解=1-x x2-x3 … (-x)n-1
x-x2 x3 …-(-x)n-1 (-x)n
=1 (-x)n。
这个例子可以概括为一般形式:
(a-b)(an-1 an-2b…ABN-2 bn-1)= an-bn。
示例4计算
(1)(a-b c-d)(c-a-d-b)；
(2)(x 2y)(x-2y)(x4-8x2y2 16y4)。
解析解(1)中两个多项式对应的项或者相同或者相反，可以考虑应用平方差公式分别组合相同项和相反项。
原公式=[(c-b-d)a][(c-b-d)-a]=(c-b-d)2-a2
=c2 b2 d2 2bd-2bc-2cd-a2。
(2)(x2y)(x-2y)的结果是x2-4y2。当这个结果乘以多项式x4-8x2y2 16y4时，公式不能直接应用，但是
x4-8x2y2 16y4=(x2-4y2)2
乘以前两个因子的结果x2-4y2可以乘以三次差公式。
原公式=(x2-4y2)(x2-4y2)2=(x2-4y2)3
=(x2)3-3(x2)2(4 y2)3 x2(4 y2)2-(4 y2)3
=x6-12x4y2 48x2y4-64y6。
5设x，y和z是实数，并且
(y-z)2 (x-y)2 (z-x)2
=(y z-2x)2 (x z-2y)2 (x y-2z)2，
首先，已知条件被简化:
Left = 2x2Y22Z2-2xy-2yz-2xz，
右= 6x26Y26z2-6xy-6yz-6xz。
所以已知的条件变化是
2x2 2y2 2z2-2xy-2yz-2xz=0，
即(x-y) 2 (x-z) 2 (y-z) 2 = 0。
因为x，y和z是实数，所以x = y = z
说明本例中多次使用完全平方的公式，但技巧上有所区别。请仔细琢磨，灵活运用公式，会给解题带来好处。
让我们采取的形状
anxn an-1xn-1 … a1x a0
代数表达式(n为非负整数)称为关于x的一元多项式，常用f(x)，g(x)，…来表示一元多项式。
为了简单起见，我们只研究一元多项式的除法。和整数除法一样，一元多项式的除法也有整除、商和余数的概念。通常，当一个一元多项式f(x)除以另一个一元多项式g(x)时，总有一个商q(x)和一个余数r(x ),这使得
例6设g(x)=3x2-2x 1，f(x)=x3-3x2-x-1，求f(x)除以g(x)得到的商q(x)和余数r (x)。
1.解决方法是普通的垂直分割。
用待定系数法来解决这个问题。
因为f(x)是三次多项式，所以第一个系数是1，而g(x)是2，第一个
r(x)= bx c。
根据f(x)=q(x)g(x) r(x)，得到
x3-3x2-x-1
比较两端的系数，得到
例7试着确定A和B，使x4 ax2-bx 2能被x2 3x 2整除。
由于解x2 3x 2=(x 1)(x 2)，如果
f(x)=x4 ax2-bx 2，
如果f(x)能被x ^ 2 ^ 3x ^ 2整除，那么x ^ 1和x ^ 2一定是f(x)的因子。因此，当x=-1时，f(-1)=0，即
1 a b 2=0，①
当x=-2时，f(-2)=0，即
16 4a 2b 2=0，②
由(1)和(2)可知
练习10
1.计算:
(1)(a-2b c)(a 2 b-c)-(a 2b c)2；
(2)(x y)4(x-y)4；
(3)(a b c)(a2 b2 c2-ab-ac-bc)。
2.简化:
(1)(2x-y z-2c m)(m y-2x-2c-z)；
(2)(a 3b)(a2-3ab 9 B2)-(a-3b)(a2 3ab 9 B2)；
(3)(x y)2(y z-x)(z x-y)(x-y)2(x y z)×(x y-z)。
3.给定z2=x2 y2，简化
(x y z)(x-y z)(-x y z)(x y-z)。
4.设f(x)=2x3 3x2-x 2，求f(x)除以x2-2x 3的商和余数。
