根据12306官方网站查询结果显示，建议在南昌西站中转，全程运行时间在12小时以内，具体换乘方案推荐如下：
1，10：08从河源站出发，乘坐T398次列车，17：55到达中转站南昌西站，停留53分钟后于18：48同站换乘G1506次列车，当晚21：44到达目的地杭州东站。是全程历时11小时36分钟，火车票价361.5元。
2，10：22从河源站出发，乘坐k446次列车，18：54到达中转站南昌西站，停留42分钟后于19：36同站换乘G1306次列车，当晚22：17到达目的地杭州东站。是全程历时11小时55分钟，火车票价361.5元。
河源并没有到浙江任何城市的直达火车，所以可供选择的方案有两种：一是火车到鹰潭，转火车到杭州，转长途汽车到舟山。不建议坐K26次（东莞东-南京西），因为河源是晚上22点三刻开，经鹰潭再转到杭州是傍晚6、7点钟，时间不太好。所以建议改成
2091次（广州东-鹰潭），河源晚上6点半发车，到鹰潭是第二天早上6点10分，时间长一点，但是晚上不影响。卧铺还便宜一点。然后坐6点半的K182次，昆明-上海，到杭州的时间是下午1点半，如果赶上误点，则可以坐7点05的一趟，大概2点钟到杭州。然后到杭州汽车东站坐长途（车船联渡），有很多到舟山的。路上时间大概3个多小时。连同市内公交或打的，大概单程接近100。这样来去总路费大概是600多元。到舟山可以赶得上吃晚饭，是比较合适的。
如果在鹰谭火车晚点到7点05分班也没赶上，就坐7点41到宁波的火车。但这样到宁波已经晚上6点多，不知道还有没有长途车，否则要转的话比较麻烦。不得已也可以选择。
二、火车厦门，转飞机。
还有一条路是从河源也是坐火车到厦门，即坐K297次晚上9点53发车，第二天早上9点42到厦门。这跟到鹰潭的时间几乎是一样的。
然后在厦门高崎机场坐飞机到舟山的朱家尖机场。这样还快一点。这个价格你自己查一下。
还有一种就好玩一点
三、火车到福州，转海轮到舟山
河源有一趟火车（2272次，深圳-福州）是到福州（走的是福建龙岩、南平），而福州的马尾港有船到舟山港，我印象中好象是舟山港开的最南的客轮了。
建议选第二种方向，从厦门转飞机走，这是最快的。但楼主问的是哪条最便宜，那我怀疑第三条线是最便宜的，一来这是2字头的火车，没有K字头的火车贵，二来水路轮船的价格也比陆路便宜。
所以我猜测最便宜的路线，应该是，河源坐火车到福州，然后转海轮到舟山。
可以坐飞机，广州到济南/深圳到济南，之后换成铁路 济南～枣庄。也可以全程火车 河源到济南 济南到枣庄
河源到杭州东 杭州东到枣庄
河源到淄博 淄博到枣庄
