平行四边形的定义、性质与判定

一，定义：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

1、平行四边形属于平面图形。

2、平行四边形属于四边形。

3、平行四边形属于中心对称图形。

二，性质：

（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。）

（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。

（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）

（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。

（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）

（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补。

（简述为“平行四边形的邻角互补”）

（4）夹在两条平行线间的平行的高相等。（简述为“平行线间的高距离处处相等”）

（5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。

（简述为“平行四边形的对角线互相平分”）

（6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。（推论）

（7）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形。）

（8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。

（9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点

（10）平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形是中心对称图形。矩形和菱形是轴对称图形。注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。

三，判定：

1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；

2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；

5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

补充：条件3仅在平面四边形时成立，如果不是平面四边形，即使是两组对边分别相等的四边形，也不是平行四边形。

1，平行四边形的相关计算：

（1）平行四边形的面积公式：底×高（可运用割补法，推导方法如图）；如用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，则S平行四边形=ah。

（2）平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值；如用“a”“b”表示两组邻边长，α表示两边的夹角，“S”表示平行四边形的面积，则S平行四边形=absinα。

2、平行四边形周长：四边之和。可以二乘（底1+底2）；如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四边形周长，则平行四边的周长c=2(a+b)。

 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。1、平行四边形属于平面图形。2、平行四边形属于四边形。3、平行四边形属于中心对称图形。平行四边形，是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形。平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次命名。

平行四边形的对边是平行的（根据定义），因此永远不会相交。

平行四边形的面积是由其对角线之一创建的三角形的面积的两倍。

平行四边形的面积也等于两个相邻边的矢量交叉乘积的大小。

任何通过平行四边形中点的线将该区域平分。

任何非简并仿射变换都采用平行四边形的平行四边形。

平行四边形具有2阶（至180°）的旋转对称性（如果是正方形则为4阶）。如果它也具有两行反射对称性，那么它必须是菱形或长方形（非矩形矩形）。如果它有四行反射对称，它是一个正方形。

平行四边形的周长为2（a+b），其中a和b为相邻边的长度。

平行四边形具有以下特性：

1平行四边形的对边是平行的（根据定义），因此永远不会相交。

2平行四边形的面积是由其对角线之一创建的三角形的面积的两倍。

3平行四边形的面积也等于两个相邻边的矢量交叉乘积的大小。

4任何通过平行四边形中点的线将该区域平分。

5任何非简并仿射变换都采用平行四边形的平行四边形。

6平行四边形具有2阶（至180°）的旋转对称性（如果是正方形则为4阶）。如果它也具有两行反射对称性，那么它必须是菱形或长方形（非矩形矩形）。如果它有四行反射对称，它是一个正方形。

7平行四边形的周长为2（a + b），其中a和b为相邻边的长度。

8与任何其他凸多边形不同，平行四边形不能刻在任何小于其面积的两倍的三角形。

9在平行四边形的内侧或外部构造的四个正方形的中心是正方形的顶点。

10如果与平行四边形平行的两条线与对角线并行构成，则在该对角线的相对侧上形成的平行四边形面积相等。

11平行四边形的对角线将其分成四个相等面积的三角形。

平行四边形，是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形   。平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次命名。注：在用字母表示四边形时，一定要按顺时针或逆时针方向注明各顶点。

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形平行四边形的性质：1、对边平行且相等 2、两组对角分别相等,邻角互补3、对角线互相平分平行四边形的判定：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、两

定义:

在同一平面内两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

⑴如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。

（简述为“平行四边形的对边相等”）

⑵如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。

（简述为“平行四边形的对角相等”）

⑶在两条平行线之间的平行线段相等。

⑷如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。

（简述为“平行四边形的两条对角线互相平分”）

⑸平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

1两组对边分别相等的四边形是平行四边形

2对角线互相平分的四边形是平行四边形

3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4两组对角分别相等的四边形是平行四边形

5两组对边分别平行的四边形是平行四边形

⑴连接平行四边形各边的中点所得图形是平行四边形。

⑵如果一个四边形的对角线互相平分，

那么连接这个四边形的中点所得图形是平行四边形。

⑶平行四边形的对角相等，两邻角互补

⑷过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。

⑸平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。

⑹平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形）

平行四边形中常用辅助线的添法

一、连对角线或平移对角线

二、过顶点作对边的垂线构造直角三角形

三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线

四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。

五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等

平行四边形对边平行

平行四边形的对角相等

平行四边形的对边相等

平行四边形的对角线互相平分

平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心

判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

④对角线互相平分的四边形是平行四边形；

⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

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