我来给你解答。
第一个问题，GF（8）是怎么构造的。
域有两类，有限域和无限域，这既是根据域中元素的个数来划分的，也是根据域的特征来划分的。如果一个域的特征是0，那么这个域是无限域，比如Q，C。如果域的特征是p，那么这个域就是有限域，并且域中元素的个数一定是p^n个，这里p是素数。
对于有限域GF（q）的构造，如果q是素数，那么模q的剩余类环就是需要构造的域。否则，如果q是素数方幂，那么GF(q)同构于GF(p)[x]/f(x),f(x)是GF（p）上的不可约n次多项式。
说这个可能你不太明白，用你的例子来说更具体。
GF(8)=GF(2^3),为了构造这个域，需要找一个在GF（2）上不可约的三次多项式，比如f(x)=x^3+x+1(所谓在GF（2）上不可约，就是0，1都不是这个多项式的根)，那么GF(2)[x]/f(x)就是GF(8)把它的元素都写出来
GF(2)[x]/f(x)={a+bx+cx^2, a,b,c in GF(2)}
写出来有8个元素{0,1,x,x+1,x^2+1,x^2+x,x^2+x+1}
他们的运算都按照模掉f（x）来加，乘。
第二个问题
本原元的个数，GF(8)的乘法群是8-1=7阶循环群，那么本原元的个数就是phi(7)=6,这里phi是欧拉函数。
希望你能看明白，如果有问题可以再讨论。
有限域判断平方元的方法如下。
1、判断该元素在有限域中是否存在平方根，如果存在，则该元素为平方元。具体方法是，对于有限域GF(p^m)，其中p为质数，m为正整数，如果a是GF(p^m)中的一个元素，那么a是平方元当且仅当存在b∈GF(p^m)，使得b^2=a。
2、利用欧拉判别准则。对于有限域GF(p)，其中p是奇素数，如果a是元素，那么a是平方元当且仅当a^((p-1)/2)=1。
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