函数的周期性定义：若存在一非零常数T，对于定义域内的任意x，使f(x)=f(x+T) 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。
1637年前后笛卡尔在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。
函数的由来：
中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。
中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”
所以“函数”是指公式里含有变量的意思。我们所说的方程的确切定义是指含有未知数的等式。但是方程一词在我国早期的数学专著《九章算术》中，意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即所说的线性方程组。
1三角函数的周期可以根据公式，弦函数的2π/w，切函数的π/w（w为正）
2一般的函数需要根据周期的定义来判断，不过除了三角函数外，没有给出解析式的函数是周期的函数，所以这类函数往往都是告诉你这个函数的一个性质，让你推知周期，常见 的周期情况有
f(x+T)=f(x)，周期为T
f(x+a)=-f(x)，周期为2a
f(x+a)=1/f(x)，周期为2a
f(x+a)=－1/f(x)，周期为2a
f(x+a)=1＋f(x)/1-f(x)，周期为4a
3周期的本质是自变量增加一个值以后，函数值恒变回原来的值，可以对照函数的性质式观察：
如f(-x-3)=f(-x)，其实就是对-x这个量来说，减少了3，函数值返回，故周期为3
f(x-3)=f(x＋3)，x+3相对x-3来说，增加了6，这样函数值总是不变，故周期为6
注意和这种形式对比：
1f(－x-3)=f(x＋3)，这个其实说提x+3和它的相反数-(x+3)的函数值一直相等，故说明其为偶函数
2f(－x＋3)=f(x＋3)，括号里两个自变量在数轴上关于x＝3对称，故图像关于直线x＝3对称
以上请注意仔细体会
一、周期定义
一般地，如果存在一个非零常数T，使得对于函数f(x)的定义域中的任意一个x和x+T，都有f(x+T)=f(x)。那么，函数f(x)就叫做周期函数，并且把非零常数T叫作这个函数的一个周期。
注一般情况下，如果一个周期函数有最小正周期的话，“周期”通常指的都是这个周期函数的“最小正周期”。
二、中学数学常用到的周期函数的公式
1、设周期函数y=f(x)的周期（最小正周期）为T，则f(x+nT)=f(x)，f(x-nT)=f(x)。这里的n可以是任意整数。
2、设周期函数y=f(x)的周期（最小正周期）为T，则y=f(x)+b、y=Af(x)、y=Af(x)+b，（注：A不等于0），都是最小正周期为T的周期函数。
3、设周期函数y=f(x)的周期（最小正周期）为T，则y=f(wx)+b、y=Af(wx)、y=Af(wx)+b都是周期函数，并且最小正周期为“T/|w|”。（注：A、w都不为0）
三、高中数学常见的周期函数的周期
1、（1）y=sinx ，最小正周期T=2π；
（2）y=|sinx|，最小正周期T= π。
2、（1）y=cosx，最小正周期T=2π；
（2）y=|cosx|，最小正周期T= π。
3、（1）y=tanx，最小正周期T=π；
（2）y=cotx，最小正周期T=π。
4、y=Asin(wx+φ)+b，最小正周期T=2π/|w|。
（注：“A”、“w”为非0常数，下同。）
5、y=Acos(wx+φ)+b，最小正周期T=2π/|w|。
6、y=Atan(wx+φ)+b，最小正周期T=π/|w|。
7、常函数“y=c（c为常数）”，是以任意非零常数为周期的周期函数。
注常函数没有最小正周期。
1、周期函数的定义：对于函数y=f(x)，若存在常数T≠0，使得f(x+T)
=
f(x)，则函数y=
f(x)称为周期函数，T称为此函数的周期。
性质1：若T是函数y=f(x)的任意一个周期，则T的相反数（-T）也是f(x)的周期。
性质2：若T是函数f(x)的周期，则对于任意的整数n(n≠0)，nT也是f(x)的周期。
性质3：若T1、T2都为函数f(x)的周期，且T1±T2≠0，则T1±T2也是f(x)的周期。
2、定义：在函数f(x)的周期的集合中，我们称其正数者为函数f(x)的正周期，称其负数者为函数f(x)的负周期。若所有正周期中存在最小的一个，则我们称之为函数f(x)的最小正周期，记作T※。
性质4：若T※为函数f(x)的最小正周期，T为函数f(x)的任意一个周期，则
Z
-（非零整数）。
性质5：若函数f(x)存在最小正周期T※，且T1、T2分别为函数f(x)的任意两个周期，则
为有理数。
注意：常值函数是周期函数，但没有最小正周期
首先判断函数在这个点x0是否有定义，即f(x0)是否存在；其次判断f(x0)是否连续，即f(x0-), f(x0+), f(x0)三者是否相等；再次判断函数在x0的左右导数是否存在且相等，即f‘(x0-)=f'(x0+)，只有以上都满足了，则函数在x0处才可导。
可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。
可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处存在导数y′=f′(x),则称y在x=x[0]处可导。
如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。
周期函数有以下性质：
（1）若T（T≠0）是f（x）的周期，则-T也是f（x）的周期。
（2）若T（T≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。
（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则 也是f（x）的周期。
（4）若f（x）有最小正周期T，那么f（x）的任何正周期T一定是T的正整数倍。
（5）T是f（x）的最小正周期，且T1、T2分别是f（x）的两个周期，则T1/T2∈Q（Q是有理数集）
（6）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。
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