平行四边形的定义及四大定理

平行四边形的定义：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形的定义、性质：

（1）平行四边形对边平行且相等。

（2）平行四边形两条对角线互相平分。（菱形和正方形）

（3）平行四边形的对角相等，两邻角互补　

（4）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论）

（5）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形）

（6）平行四边形是旋转对称图形，旋转中心是两条对角线的交点。

（7）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。

（8）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。

（9）一般的平行四边形不是轴对称图形，菱形是轴对称图形。

（10）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和（可用余弦定理证明）。

（11）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。

判定：

（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

（4）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

（6）一组对边平行一组对角线互相平分的四边形是平行四边形；

（7）一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形；

一，定义：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

1、平行四边形属于平面图形。

2、平行四边形属于四边形。

3、平行四边形属于中心对称图形。

二，性质：

（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。）

（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。

（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）

（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。

（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）

（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补。

（简述为“平行四边形的邻角互补”）

（4）夹在两条平行线间的平行的高相等。（简述为“平行线间的高距离处处相等”）

（5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。

（简述为“平行四边形的对角线互相平分”）

（6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。（推论）

（7）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形。）

（8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。

（9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点

（10）平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形是中心对称图形。矩形和菱形是轴对称图形。注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。

三，判定：

1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；

2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；

5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

补充：条件3仅在平面四边形时成立，如果不是平面四边形，即使是两组对边分别相等的四边形，也不是平行四边形。

1，平行四边形的相关计算：

（1）平行四边形的面积公式：底×高（可运用割补法，推导方法如图）；如用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，则S平行四边形=ah。

（2）平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值；如用“a”“b”表示两组邻边长，α表示两边的夹角，“S”表示平行四边形的面积，则S平行四边形=absinα。

2、平行四边形周长：四边之和。可以二乘（底1+底2）；如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四边形周长，则平行四边的周长c=2(a+b)。

平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形

平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形

平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形

平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形

平行四边形的判定定理

下面是证明过程：

判定平行四边形的方法如下：

1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；

2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；

5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

补充：条件3仅在平面四边形时成立，如果不是平面四边形，即使是两组对边分别相等的四边形，也不是平行四边形。

平行四边形的判定

平行四边形的判定是判定四边形的形状是否是平行四边形的重要依据，是数学推理性问题的重点内容，中考题中对平行四边形的证明很少，但它是学习菱形和正方形的基础，平行四边形的判定主要从三个方面看：（1）从边看：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（2）从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（3）从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

例1关于四边形ABCD ①两组对边分别相等；②两组对角分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线AC和BD相等；以上四个条件中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）。

（A） 1个（B）2个（C）3个（D）4个

分析：欲正确判断平行四边形，需熟悉平行四边形的几种判定定理，不可凭想当然来判断。正确的组合为：①、②、③。

解：选（C）。

总结：严格按照平行四边形的判定定理识别平行四边形是此类问题的关键。

四边形定理如下：

1、定理四边形的内角和等于360°

2、四边形的外角和等于360°

3、多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°

4、推论任意多边的外角和等于360°

5、平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

6、平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等

7、推论夹在两条平行线间的平行线段相等

8、平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

9、平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形

10、平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形

11、平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形

12、平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形

平行四边形性质：两组对边平行且相等；两组对角大小相等；相邻的两个角互补；对角线互相平分；对于平面上任何一点，都存在一条能将平行四边形平分为两个面积相等图形、并穿过该点的线；四边边长的平方和等于两条对角线的平方和。

平行四边形判定定理：（1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

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