直角三角形射影定理（又叫欧几里德(euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式
，对于rt△abc，∠bac=90度，ad是斜边bc上的高，则有射影定理如下：（ad）^2=bd·dc，（1）（ab）^2=bd·bc，（2）（ac）^2=cd·bc
。（3）这主要是由相似三角形来推出的，例如（ad）^2=bd·dc：
射影定理如下：
①CD²=AD·BD
②AC²=AD·AB
③BC²=BD·AB
④AC·BC=AB·CD
验证推导如下
证明：①∵CD²+AD²=AC²,CD²+BD²=BC²
∴2CD²+AD²+BD²=AC²+BC²
∴2CD²=AB²-AD²-BD²
∴2CD²=(AD+BD)²-AD²-BD²
∴2CD²=AD²+2AD·BD+BD²-AD²-BD²
∴2CD²=2AD·BD
∴CD²=AD·BD
②∵CD²=AD·BD(已证)
∴CD²+AD²=AD·BD+AD²
∴AC²=AD·(BD+AD)
∴AC²=AD·AB
③BC²=CD²+BD²
BC²=AD·BD+BD²
BC²=(AD+BD)·BD
BC²=AB·BD
∴BC²=AB·BD
④∵S△ACB=1/2 AC×BC=1/2 AB·CD
∴ 1/2AC·BC= 1/2AB·CD
∴AC·BC=AB·CD
参考资料来源：百度百科-射影定理
简单点说 可以用三角形相似来证明
在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°
∴∠ABD=∠C，
又∵∠BDA=∠BDC=90°
∴△BAD∽△CBD
∴ AD/BD=BD/CD
即BD²=AD·DC。其余同理可得可证[1]
有射影定理如下：
AB²=AD·AC，BC²=CD·CA
两式相加得：
AB²+BC²=（AD·AC）+（CD·AC） =（AD+CD)·AC=AC² 。[1]
用勾股定理证射影定理
∵AD²=AB²-BD²=AC²-CD²,
∴2AD²=AB²+AC²-BD²-CD²=BC²-BD²-CD²=(BC+BD)(BC-BD)-CD²=(BC+BD)CD-CD²=(BC+BD-CD)CD=2BD×CD
故AD²=BD×CD
运用此结论可得:AB²=BD²+AD²=BD²+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC,
AC² =CD²+AD²=CD²+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB
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