圆台体积计算

平舌音和翘舌音2023-05-02 24

你可以通过圆锥体积导出，圆台是圆锥切割而成。参数如图。

圆锥公式：V=1/3PIr^2h(其中，PI圆周率，r底面半径，h为圆锥高度)

体积：上圆锥V1=1/3PIr1^2h1，整个圆锥V2=1/3PIr2^2（h1+h2），

圆台体积：V=V2-V1；

利用三角形相似关系：h1/h2=r1/(r2-r1)，所以h1=r1/(r2-r1)h2，

代入圆台体积公式，并化简得：

V=1/3PI(r1^2+r1r2+r2^2)h2，其中r1为圆台上底面半径，r2为圆台下底面半径，h2为圆台的高，

附：

(1)几个化简公式：

x^2-y^2=(x+y)(x-y);

x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)

根据相似知识回答较为方便！具体说，两个相似图形中，对应长度比＝相似比；对应面积比＝相似比的平方；对应体积比＝相似比的立方。

为便于叙述，设棱台的上下底面半径分别为r与R，高为h。将棱台补成圆锥，则小圆锥与大圆锥的相似比为r：R，则可以设小圆锥与大圆锥的高分别为r·x与R·x，则R·x－r·x＝h，则x＝h/(R-r)。

而圆台的体积＝大圆锥的体积－小圆锥的体积＝（1/3）·π·R＾2·R·x－（1/3）·π·r＾2·r·x＝（1/3）·π·（R＾3－r＾3）·x。将前面x代入上式得，圆台的体积＝（1/3）·π·（R＾3－r＾3）·[h/(R-r)]，利用三次立方差公式分解因式并约分得，圆台的体积＝（1/3）·πh·（R＾2＋R·r＋r＾2）。

在此基础上，要转化成用圆台两个底面积表示的形式，也不难。证明完毕。

圆台体积公式为v=(1/3)H[S'+√(SS')+S]

(√为根号,表示开平方)

证明:将上底面积为S',下底面积为S,高为H的园台的母线延长,得

一顶点为P的完整的园锥P-S,设延长部分的高为X,那么,园台的体

积V=(1/3)(H+X)S-(1/3)XS'=(1/3)HS+(1/3)X(S-S')(1)

现在我们设法把(1)式右边的X用已知量H,S,S'来表示它在园锥

P-S中,S'‖S,∴S/S'=(H+X)^2/X^2

两边同时开平方并取正值得

√S/√S'=(H+X)/X

依分比定理有

(√S-√S')/√S'=H/X