牛顿的成就
力学方面的贡献
牛顿在伽利略等人工作的基础上进行深入研究，总结出了物体运动的三个基本定律（牛顿三定律）：①任何物体在不受外力或所受外力的合力为零时，保持原有的运动状态不变，即原来静止的继续静止，原来运动的继续作匀速直线运动。②任何物体在外力作用下，运动状态发生改变，其动量随时间的变化率与所受的合外力成正比。通常可表述为：物体的加速度与所受的合外力成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向一致。③当物体甲给物体乙一个作用力时，物体乙必然同时给物体甲一个反作用力，作用力和反作用力大小相等，方向相反，而且在同一直线上。这三个非常简单的物体运动定律，为力学奠定了坚实的基础，并对其他学科的发展产生了巨大影响。第一定律的内容伽利略曾提出过，后来R笛卡儿作过形式上的改进，伽利略也曾非正式地提到第二定律的内容。第三定律的内容则是牛顿在总结C·雷恩、J·沃利斯和C·惠更斯等人的结果之后得出的。
牛顿是万有引力定律的发现者。他在1665～1666年开始考虑这个问题。1679年，R·胡克在写给他的信中提出，引力应与距离平方成反比，地球高处抛体的轨道为椭圆，假设地球有缝，抛体将回到原处，而不是像牛顿所设想的轨道是趋向地心的螺旋线。牛顿没有回信，但采用了胡克的见解。在开普勒行星运动定律以及其他人的研究成果上，他用数学方法导出了万有引力定律。
牛顿把地球上物体的力学和天体力学统一到一个基本的力学体系中，创立了经典力学理论体系。正确地反映了宏观物体低速运动的宏观运动规律，实现了自然科学的第一次大统一。这是人类对自然界认识的一次飞跃。
牛顿指出流体粘性阻力与剪切率成正比。他说：流体部分之间由于缺乏润滑性而引起的阻力，如果其他都相同，与流体部分之间分离速度成比例。现在把符合这一规律的流体称为牛顿流体，其中包括最常见的水和空气，不符合这一规律的称为非牛顿流体。
在给出平板在气流中所受阻力时，牛顿对气体采用粒子模型，得到阻力与攻角正弦平方成正比的结论。这个结论一般地说并不正确，但由于牛顿的权威地位，后人曾长期奉为信条。20世纪，T·卡门在总结空气动力学的发展时曾风趣地说，牛顿使飞机晚一个世纪上天。
关于声的速度，牛顿正确地指出，声速与大气压力平方根成正比，与密度平方根成反比。但由于他把声传播当作等温过程，结果与实际不符，后来P-S拉普拉斯从绝热过程考虑，修正了牛顿的声速公式。
数学方面的贡献
17世纪以来，原有的几何和代数已难以解决当时生产和自然科学所提出的许多新问题，例如：如何求出物体的瞬时速度与加速度？如何求曲线的切线及曲线长度（行星路程）、矢径扫过的面积、极大极小值（如近日点、远日点、最大射程等）、体积、重心、引力等等；尽管牛顿以前已有对数、解析几何、无穷级数等成就，但还不能圆满或普遍地解决这些问题。当时笛卡儿的《几何学》和瓦里斯的《无穷算术》对牛顿的影响最大。牛顿将古希腊以来求解无穷小问题的种种特殊方法统一为两类算法：正流数术（微分）和反流数术（积分），反映在1669年的《运用无限多项方程》、1671年的《流数术与无穷级数》、1676年的《曲线求积术》三篇论文和《原理》一书中，以及被保存下来的1666年10月他写的在朋友们中间传阅的一篇手稿《论流数》中。所谓“流量”就是随时间而变化的自变量如x、y、s、u等，“流数”就是流量的改变速度即变化率，写作等。他说的“差率”“变率”就是微分。与此同时，他还在1676年首次公布了他发明的二项式展开定理。牛顿利用它还发现了其他无穷级数，并用来计算面积、积分、解方程等等。1684年莱布尼兹从对曲线的切线研究中引入了和拉长的S作为微积分符号，从此牛顿创立的微积分学在大陆各国迅速推广。
微积分的出现，成了数学发展中除几何与代数以外的另一重要分支——数学分析（牛顿称之为“借助于无限多项方程的分析”），并进一步进进发展为微分几何、微分方程、变分法等等，这些又反过来促进了理论物理学的发展。例如瑞士J伯努利曾征求最速降落曲线的解答，这是变分法的最初始问题，半年内全欧数学家无人能解答。1697年，一天牛顿偶然听说此事，当天晚上一举解出，并匿名刊登在《哲学学报》上。伯努利惊异地说：“从这锋利爪中我认出了雄狮”。
牛顿在前人工作的基础上，提出“流数(fluxion)法”，建立了二项式定理，并和GW莱布尼茨几乎同时创立了微积分学，得出了导数、积分的概念和运算法则，阐明了求导数和求积分是互逆的两种运算，为数学的发展开辟了一个新纪元。
英国数学家、物理学家和哲学家牛顿在《自然哲学的数学原理》里提出的万有引力定律以及他的牛顿运动定律是经典力学的基石,他还和莱布尼茨各自独立地发明了微积分,被誉为人类历史上最伟大的科学家之一因为牛顿,经典力学又名为“牛顿力学”,而力的单位也叫做“牛顿”,另外,以牛顿命名的数学和科学术语还有“牛顿方程”、“牛顿-莱布尼茨公式”、“牛顿法”、“高斯－牛顿最小二乘法”、“牛顿环”、“非牛顿流体”等
; 在力学上，牛顿阐明了动量和角动量守恒的原理，提出牛顿运动定律，对万有引力和三大运动定律进行了描述。在光学上，他发明了反射望远镜，他还系统地表述了冷却定律，并研究了音速。在数学上，牛顿证明了广义二项式定理，提出了“牛顿法”以趋近函数的零点，并为幂级数的研究做出了贡献。
nbsp; 牛顿被称为”物理学之父“，在力学、光学、数学等方面都取得了很大的成就，下面我们就来详细说说牛顿都有哪些成就。
详细内容
01
1687年的巨作《自然哲学的数学原理》，开辟了大科学时代。牛顿是最有影响的科学家，被誉为“物理学之父”，他是经典力学基础的牛顿运动定律的建立者。他发现的运动三定律和万有引力定律，为近代物理学和力学奠定了基础，他的万有引力定律和哥白尼的日心说奠定了现代天文学的理论基础。
02
在力学上，牛顿阐明了动量和角动量守恒的原理，提出牛顿运动定律，对万有引力和三大运动定律进行了描述。在光学上，他发明了反射望远镜，他还系统地表述了冷却定律，并研究了音速。在数学上，牛顿与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨分享了发展出微积分学的荣誉。他也证明了广义二项式定理，提出了“牛顿法”以趋近函数的零点，并为幂级数的研究做出了贡献。
03
直到今天，人造地球卫星、火箭、宇宙飞船的发射升空和运行轨道的计算，都仍以这作为理论根据。在2005年，英国皇家学会进行了一场名为“谁是科学史上最有影响力的人”的民意调查，牛顿被认为比阿尔伯特·爱因斯坦更具影响力。对牛顿的毛发进行基因分析，认为牛顿是艾斯伯格症候群携带者，有XQ28基因的表现，这更增添了牛顿的神秘感，但并未影响到他巨人的形象。
家世和生平
《光学》和反射式望远镜的发明，光学和力学一样，在古希腊时代就受到注意。用于天文观测的需要,光学仪器的制作很早就得到了发展，光的反射定律早在欧几里得时代已经闻名，但折射定律直到牛顿出生之前不久才为荷兰科学家W斯涅耳所发现。玻璃的制作早已从阿拉伯辗转传入西欧。16世纪荷兰磨制透镜的手工业大兴。把透镜适当组合成一个系统就可成为显微镜或望远镜。这两种仪器的发明对科学发展起了重大作用。在牛顿之前，伽利略首先把他所制作的望远镜用在天象观测上。枷利略式的望远镜是以一片会聚透镜为目镜、一片发散透镜为物镜的望远镜。还有当时盛行的由两片会聚透镜组成的开普勒望远镜。两种望远镜都无法消除物镜的色散。牛顿发明以金属磨成的反射镜代替会聚透镜作为物镜，这样就避免了物镜的色散。当时牛顿制成的望远镜长6英寸，直径1英寸，放大率为30～40倍。经过改进，1671年他制作了第二架更大的反射式望远镜，并送到皇家学会评审。这台望远镜被皇家学会作为珍贵科学文物收藏起来。为了制造反射式望远镜，牛顿亲自冶炼合金和研磨镜面。牛顿自幼爱好动手制模型，做试验，这对他在光学实验上的成功有极大帮助。光的颜色问题早在公元前就有人在作猜测，把虹的光色和玻璃片的边缘形成的颜色联系起来。从亚里士多德以来到笛卡儿都认为白光是纯洁的、均匀的，是光的本质，而色光只是光的变种。他们都没像牛顿那样认真做过实验。
大约在1663年，牛顿即开始热衷于光学研究，磨玻璃、制作望远镜也在这个时期。1666年，他购得一块玻璃三棱镜，开始研究色散现象。为了这个目的，牛顿在他的《光学》一书中写道:“把我的房间弄暗,在我的窗板上开一个小孔，以便适量的太阳光射入室内，就在入口处安置我的棱镜，光通过棱镜折射达到对面的墙上。”牛顿看到墙上有彩色的光带，光带之长数倍于原来的白光点，他意识到这些彩色就是组成白色太阳光的原始光色。为了证明这一点，牛顿进一步做实验。在光带投射的屏上也打一个小孔，让光带中彩色的一部分穿过第二个小孔，经过放在屏后的第二个棱镜折射投到第二个屏上，又让第一棱镜绕它的轴缓慢转动，只见穿出第二个小孔落在第二屏上的像随着第一棱镜转动而上下移动。于是看到，为第一棱镜折射最大的蓝光,经过第二棱镜也是折射得最大；反之,红光被前后两个棱镜折射得最小。于是牛顿作出结论:“经过第一棱镜折射后所得长方形的彩色光带不是别的，正是由不同的彩色光所组成的白色光经折射而形成的。”也就是说：“白光本身是由折射程度不同的各种彩色光所组成的非均匀的混合体。”这就是牛顿的光色理论。它是通过实验建立起来的，牛顿自称这个实验为“关键性实验”。这个实验可说是一个半世纪后 Jvon夫琅和费建立光谱术的基础。事实上牛顿在他的《光学》第 1卷命题4问题1中用过1～2英寸长、宽仅1/10或1/20英寸的长方形的孔代替小圆孔，他说所得结果较前更清晰，但没有夫琅和费线的记载。牛顿在这方面做了大量的实验之后，于1672年把他的结论用书信形式送交皇家学会评审。不料竟引起一场尖锐的论战。当时惠更斯反对他，胡克攻击他尤甚。早在1665年胡克就在英国提出光的波动理论，这只是一个假说。惠更斯则把它完整起来，认为空间的以太是无所不在的，他把以太作为振动的媒质，把媒质的每一个质点都看成一个中心，在中心的周围形成一个波，惠更斯成功地用这个物理图像来解释光的反、折射、还以此来研究冰洲石的双折射（但是光的波动学说的确立还有待于一个半世纪之后由英国的T杨的干涉实验来证明）。牛顿则持光的微粒说，他认为波动说的最大障碍是不能解释光的直线进行。他提出发光物体发射出以直线运动的微粒子、微粒子流冲击视网膜就引起视觉。它也能解释光的折射与反射，甚至经过修改也能解释FM格里马尔迪发现的“衍射”现象。但对薄膜形成的彩色，牛顿则承认微粒说不如波动说解释得明快。微粒说与波动说之争在当时是十分激烈的，双方争论持续多年。当年光的微粒说与波动说之争，现在可以引用ET惠特克的话来结束这桩公案：“当A爱因斯坦以M普朗克的量子原理来解释光电效应，光的微粒思想经过一个世纪的沉寂而在1905年又获得了新生，并因此而导致光量子存在的基本原理。他的思想为实验所充分肯定，特别是光子与电子碰撞所产生的康普顿效应服从经典的碰撞力学定律。而同时,关于光的波动性的实验并没有失效，于是我们不得不承认波动说和微粒假说都是正确的。”无疑,牛顿的《光学》(Opticks)是和他的《原理》同为物理学的巨著，也是科学界的经典著作。《光学》第一版印于1704年，在胡克逝世之后问世。《光学》最后部分以独特的形式附上一份著名的“问题”表，共提出31个“问题”（第一版提出16个“问题”）。在“问题”中所谈到的不仅是光的折射、反射等，还涉及光与真空,甚至重力、天体等问题。在多处谈到光的波动,涉及太阳光与物质的相互作用等问题，这些问题涉及物理学的诸多方面，富有启发性，后人评价这些“问题”是《光学》中最重要的部分，并非虚语。牛顿在《光学》一书中凭借实验的结果与分析，建立了光的理论。但在全书中没有提起不同玻璃具有不同折射率，在全书中也没有做消色差的实验，这或许是由于他当时还没有获得不同质玻璃的三棱镜的缘故。但是牛顿制造反射式望远镜来避免物镜的色散，却是个妙法，迄今大型望远镜的制造还遵从此法。牛顿死后3年(1730)出版了经牛顿生前订校过的《光学》第 4版。现在流行的1931年版本就是根据第4版重印的。
爱因斯坦在为牛顿《光学》1931年重印本所作的序中说：“牛顿的时代早已被淡忘了……牛顿的各种发现已进入公认的知识宝库，尽管如此，他的光学著作的这个新版本还是应当受到我们怀着衷心感激的心情去欢迎的，因为只有这本书才能使我们有幸看到这位伟大人物本人的活动。”
万有引力定律和《自然哲学的数学原理》，16世纪丹麦天文学家第谷对行星绕日运行作了长年累月的观测，他死后德国天文学家开普勒整理并分析了第谷的20年的观测记录，总结出行星运动的著名开普勒三定律。这个发现不仅为经典天文学奠定了基础，更重要的是导致了其后万有引力定律的发现。开普勒在得出行星运动三定律之前，1596年曾提出关于太阳行星间的吸引作用的思想；随之提出物体作圆周运动时出现离心力问题。一般认为伽利略已领悟到离心力,但对它作进一步的认识和计算则有待于牛顿。1664年 1月20日牛顿在他的《算草本》上已提出如何计算物体作圆周运动时的向心力的具体方法。牛顿把推导、计算方法详尽地写入他的《原理》（第 3版）第一编第二章命题4定理4下面推论1中，明确地指出：“因此,由于这些圆弧代表运动物体的速度，向心力就是这个速度的平方除以圆周半径。”从这里可以看出，向心力的求得对于距离平方反比定律的推导是不可少的。顺便提一下，惠更斯从不同途径推导得离心力方程和牛顿的相似，结果于1673年发表。牛顿虽在早年的《算草本》上提出求向心力的方法，但他自己说“惠更斯先生后来所发表的离心力理论，我相信在我之前”。引人注意的是，在《原理》第一编和第三编中，凡提到轨道运行时，牛顿都没有提及离心力一词，总是强调拉向轨道中心的向心力。
关于引力反比于距离平方定律，历史上记载了当时对此发明权的争论，有人以为距离平方反比定律可以从开普勒第三定律直接推出，但缺乏向心力的概念和运动，不可能推出这定律。而向心力的概念与运算都是牛顿最早做出来的。长牛顿7岁的胡克当年就宣称他早已知道引力反比于距离平方定律，但提不出证据来。当《原理》第1版在印刷时,胡克通过哈雷向牛顿要求分享此定律的发明权。牛顿加以拒。在《原理》（第 3版）上述命题 4下的注释中提到距离平方反比定律适用于天体运动时,牛顿说:“雷恩爵士、胡克博士和哈雷博士曾分别注意过。”同时也提及“惠更斯先生在他的出色著作《钟摆的振荡》中曾把重力比之于旋转体的离心力”。这样，人们对距离平方反比定律的发明权就有所了解了。有人认为，1666年牛顿在乌尔斯索普家中试图以地球表面大圆弧上 1度的长度为60英里来计算月地之间的引力；通过实际计算，月球绕地球的周期与实际不能符合，算稿便弃置一旁。1682年牛顿获悉J皮卡德的地球经度 1度之长为691英里的数据，便重行计算，才使计算与实际观测相吻合。牛顿把日常所见的重力和天体运动的引力统一起来，在科学史上有特别重要的意义。行星绕日运动的轨道究竟是什么样？这是当时科学界所关心的问题。这问题答案的公开和《原理》的出版密切相关,科学史上已有生动的记载。1684年1月C雷恩、哈雷和胡克 3位英国当时科学界著名人士在伦敦相叙讨论行星运动轨道问题。胡克虽说他已通晓，但拿不出计算结果。于是牛顿的好友哈雷专程去剑桥请教牛顿。牛顿告诉哈雷他自己已计算过了，肯定地说，行星绕日轨道是椭圆；但手稿压置多年一时找不到，应允重行计算，约期3个月后交稿。哈雷如约再度访剑桥,牛顿交给一份手稿《论运动》，哈雷大为赞赏。牛顿在此稿基础上另写一书《论物体运动》，1684年12月送交英国皇家学会。此书第一部分主要相当于后来的《原理》第一编及第二编；而其余部分成为《原理》的第三编。哈雷怂恿牛顿写成《原理》全书公开出版，由他出资印刷，并亲自督校。 1687年7月《自然哲学的数学原理》(Philosophiae Naturaalis Principia Мathematica)第1版问世, 时距1664年牛顿开始思考并进行草算已23年。《原理》第2版于1713年出版,第3版于1725年出版（见彩图牛顿名著《原理》（1686）扉页）。《原理》原用拉丁文写成。牛顿逝世后2年由A莫特译成英文付印,即今所见的流行的《原理》英文本。《原理》第一编之前有两部分重要的论述。第一部分为定义。定义共8条，其中有关向心力的有5条。他说，施加于物体的力有不同来源，例如撞击、压力和向心力。向心力一词是牛顿创造的（在另一场合即惠更斯称之为离心力的补充词）。牛顿在定义一章中有长篇诠释，其中提到了一个假想实验：“在高山上发射炮弹、炮力不足，炮弹飞了一阵便以弧形曲线下落地面。假如炮力足够大,炮弹将绕地球面周行,这是向心力的表演。”今日人造卫星的设想在那时牛顿的脑子里已浮现出来了。在定义一章中牛顿尽情阐述了他的时空绝对性概念。他对人们熟知的空间与时间，择名绝对空间和绝对时间。牛顿认为，只有在绝对空间中绝对运动才可以觉察，特别是在物体旋转时。当时惠更斯和英国大主教G贝克莱对此表示疑问。无论如何，这短短一章定义表达了牛顿对力与时空的基本观点，是研究牛顿的重要原始文献。
在第一编之前,除定义一章外,还有公理或称运动定理一章。在这章里牛顿阐述著名的运动三定律（见牛顿运动定律）。第一运动定律一般称作惯性定律，通常认为已由伽利略和笛卡儿所道出。为了要变更物体运动方向(或称变更运动速度)必须有外力作用，这其间必然会产生质量的概念。质量(原文物质的量)这个基本概念是由牛顿在《原理》第一编定义章中首先提出的，成为物理学中最基本概念之一。他清楚地把质量和重量区分开来，阐明了在各种不同环境中两个量的相互关系。在力学中牛顿用质量表示物体的特征。爱因斯坦指出：“只有引进质量这一新概念之，他（牛顿）才能把力和加速度联系起来。”动量一词牛顿也作了定义。牛顿指出，动量是衡量物质运动的量，它联系物质与运动两个量；物质加倍，动量加倍；物质与运动都加倍；动量即为原来的4倍。随后阐述动量守恒。牛顿在运动三定律之后有7个推论，其中论述到两力同时作用一物体上,则物体加速度方向和力的合成都在两力平行四边形的对角线上。此后还有一段很长的诠释，总论运动三定律的联系性，还用两摆的弹性碰撞和非弹性碰撞实验来阐述运动守恒并说明第二定律和第三定律之间的关系。从上面看，牛顿运动三定律不是分立的,而是相关的。牛顿早年在《算草本》中以碰撞实验研究力，在《原理》中他强调以“冲量”作为力的概念。随后发展这个概念，说无限短促间隙的相关系列冲量就成为连续作用力。这句话就包含以微分形式表达力的定义。牛顿设想，一质点在直线上作惯性运动，这质点和线外某一定点相联，在相等时间内这联线扫过的面积必然相等；如果在线上某点遇到一个外力，则质点要偏向质点原运动方向与外力方向之间的某一方向上运动。牛顿用他创造的无限小概念极限的方法最终证明了：一个运动着的质点，受到某个定点的外力作用，如果这个外力在质点和定点的联线上，而且力的强度反比于距离二次方，那么这质点运动轨迹很可能是个椭圆，这定点就是椭圆的焦点。于此，牛顿得出行星与太阳之间联线所扫过的面积必然和时间成比例。牛顿又设想，质点在椭圆上从一点经过无限短时间运行，这质点在短暂时间运行所到之处偏离切线的距离反比于从焦点到该点的距离平方。而当椭圆上两点相接近时，牛顿得出，在这极限情况下开普勒的面积定律是关键条件。总之，牛顿得到如下结论：假如面积定律有效，椭圆形轨道意味着指向焦点的力必然反比于距离平方。牛顿于是着意证明，面积定律是作用在运动物体的力指向中心的充分和必要条件。这揭示了开普勒的第一、第二两定律的重要性。《原理》第二编论述在有阻力媒质(气体、液体)内的质点运动。牛顿在这里用了更多的数学方法，而物理涵义较前为少。在第一编里牛顿费尽心力用各种方法证明宇宙间引力（向心力）之存在；而在第二编里，牛顿设想，在媒质中阻力与物体运行速度成正比；又设想与速度平方成正比；甚至认为一部分为速度之比，另一部分为速度平方之比。他还论证过一些其他的问题。在这些工作中牛顿以数学技巧来处理一些看来无实际物理意义的问题。他还研究了气体的弹性和可压缩性。在《原理》第二编中，牛顿用摆在流体中的运动实验测定重量（即地球引）和惯性大小的关系。在经典物理学中这两个量只能由实验来测定。关于声学的研究，《原理》第二编中记载了牛顿从理论上研究声速（见定理48、49、50），所得结果比实测低16％。他认为声速正比于所谓“弹性力”的方根而反比于媒质密度方根。牛顿又研究了声传播的形式，他说声的传播是空气的脉动所致，指出波的脉动只是媒质中质点上下交替运动，与摆的运动无异。在第二编最后文字中牛顿澄清了涡旋假设与天体运动无关。牛顿原想把《原理》第三编写成一般性的总结。但后来改变了计划，标题为“宇宙体系”。在这编里讨论了太阳系的行星、行星的卫星、彗星的运行，以及海洋潮汐的产生。他把这些作用的力叫做引力，即今所谓万有引力。他解释引力是两物体间相互作用的力，太阳对行星有引力使之在轨道上运行，同时行星对太阳也有作用力，这是运动第三定律规定的。只是太阳与行星的质量悬殊太大，太阳的运动微乎其微。行星之间运动相互受到引力干扰，所谓多体问题中的摄动，牛顿在第三编中阐述了太阳对月亮的摄动，土星对木星的摄动。在第三编中还计算了木星卫星的距离与卫星运转周期，作为开普勒第三定律的实例。
1680年11月与1681年 3月大彗星两度出现。牛顿开始以为是在直线上运动的两个不同的彗星，只是方向相反。夫拉姆斯蒂德通过观察提醒牛顿，这只是同一个彗星,绕着太阳运动。于是牛顿通过计算得出,1680年的彗星是以太阳为焦点作抛物线运动，它对太阳的向心力也是服从距离平方反比定律的。1695年哈雷假定这颗1680年彗星的轨道是绕着太阳运行的一个扁而长的椭圆形。哈雷与牛顿对此重作计算。在《原理》第2版和第3版的第三编中有详细的观测记录和推算，预言这颗彗星约以75年绕日运动一周，即今日所知著名的哈雷彗星（中国最早对此彗星的记录在公元前1057年）。最后牛顿在结论中说，“彗星是行星之一种，它绕太阳运行具有极大的偏心率”但他又说“三次观测数据即可定出彗星在抛物线上运动轨道”。
谈牛顿的物理学，不能不提及他在数学上的伟大贡献。《原理》的全名是《自然哲学的数学原理》。所谓自然哲学在那时的含义包括物理、化学等，而主要是物理学。上面提过第一、第二两编的中心是借数学方法来阐明物体运动的规律，因此可以看出数学在《原理》中的重要地位。读者初读《原理》往往以为是作者写作时崇尚古希腊欧几里得的几何的规范。但细读就可发现作者取几何学的形式而实质赋有崭新的内涵。作者在建立几何条件之后，立即引入某种经过精心下定义的所谓极限法。这种方法基于极限术的一组普遍原理，有别于经典式的古希腊几何学。极限学说详述在《原理》第一编第一章11个引理和诠释之中。在那里详细说明了极限的意义：有两个相互依赖的物理量，当两个量逐渐变小时，牛顿称它为流数,它的比率也在逐渐变化,而自变量达到无限小时比率达到一个极限定值，牛顿叫它流率。即今称导数或微商。牛顿发现他的流变术非常有用，反过来此术可以求曲线包围的面，即今所称积分。第一编第八章命题41即为积分术的应用。可以说，《原理》一书的中心内容是论述了牛顿在数学上的伟大创造即微积分术，并且应用这个创造去解决天体运动以及其他相关物理问题。微积分之发明，史家也归功于莱布尼兹，对于这一数学上的伟大发明，牛顿与莱布尼兹孰先孰后，后世论者纷纷；即在当时两方亦就此书信往来，已有争议。试听爱因斯坦如何赞美牛顿的微分发现。他说“只有微分定律的形式才能完全满足近代物理学家对因果性的要求。微分定律的明晰概念是牛顿最伟大的理智成就之一”。
牛顿一生的重要贡献是集16、17世纪科学先驱们成果的大成，建立起一个完整的力学理论体系，把天地间万物的运动规律概括在一个严密的统一理论中。这是人类认识自然的历史中第一次理论的大综合。以牛顿命名的力学是经典物理学和天文学的基础，也是现代工程力学以及与之有关的工程技术的理论基础。这一成就，使以牛顿为代表的机械论的自然观，在整个自然科学领域中取得了长达两百年的统治地位。
哲学、宗教和其他
亚里士多德的哲学讲求事物的和谐，求和谐思想是正确的，但亚里士多德认为天上的日、月、星辰的运行轨道是圆形，因为只有圆运动才是完美的、和谐的，而地上的运动，例如重物直线下落是凡俗的。古希腊哲学家的和谐思想不能在天与地之间连贯。到了17世纪，牛顿用引力理论和运动三定律把天上行星和它们的卫星运动规律，同地上重力下坠的现象统一起来，实现了天上人间的统一，这是牛顿在自然哲学上的伟大贡献。众所周知，牛顿在理解光的本质上持微粒说。但他在同胡、惠更斯等讨论光的本质时，说光具有这种或那种本能激发以太的振动。这意味着以太是光振动的媒质(见以太论)。于此，似乎牛顿对光的双重性有所理解；其实不然,他对以太媒质之存在极似空气之无所不在,只是远为稀薄、微细而具有强有力的弹。他又申说，就是由于以太的动物气质才使肌肉收缩和伸长，动物得以运动。他又进一步以以太来解释光的反射与折射，透明与不透明，以及颜色的产生，他甚至于设想地球的引力是由于有如以大气质不断凝聚使然。《原理》第二编第六章诠释的结尾说，从记忆中他曾做实验倾向于以太充斥于所有物体的空隙之中的说法，虽然以太对于引力没有觉察的影响。14、15世纪以来欧洲的学者对以太着了迷，以太学说风靡一时。当时科学巨擘笛卡儿对以太存在深信不疑。他认为行星之运行可以以太旋涡来解释。以太学说成为一时哲学思潮。尊重实验的牛顿也不免卷入这股哲学思潮激流中去，倾向于它存在。当时人们对超距作用看法不一。牛顿曾经指出他的引力相互作用定律，并不认为是最终的解释，而只是从实验中归纳出来的一条规则。因此，牛顿并未就引力本质作出结论。
牛顿在科学上的成就须由他的哲学思想和科学方法来寻根求源。牛顿的学生R科茨曾在《原理》第 2版序言中道出了其中的奥妙。古希腊、罗马的哲学家凭着对自然现象的观察和思考(中国先秦时代也有类似之处)总结出论断，例如泰勒斯的学说：万物的根源是水。即使像德谟克利特、卢克莱修的原子论，现在来评价还是很高的。但是他们的方法凭天才的臆测、思维与辩论，称之为思辨哲学。到了中世，经院哲学统治着欧洲。科学、哲学沦为神学的奴婢。到15、16世纪，哥白尼、G布鲁诺、伽利略等人不畏坐牢、火刑等坚持不屈地向教会作斗争，挣脱了侍奉上帝的桎梏。对自然现象的观察、测量和实验的风气逐渐形成了。在物理学科中伽利略的实验工作是实验物理学的开端，牛顿深受其影响。随后牛顿使作为实验科学的物理学形成一个光辉体系，同时也使科学实验方法闯入了哲学思想的殿堂。
牛顿认为从现象中可以得出科学原理，或者说科学基本原理可以从现象中导得或推出。牛顿在《原理》和《光学》两书中明白表达他的做学问的方法，即要明白无误地区别猜测、假设和实验结果（及由此而归纳得出的结论），还有从某些假设条件下所得到数学推导。《原理》第一编十四章中处理细微粒子的运动和第二编命题23中设想气体中有相互排斥质点的模型都是牛顿运用具有物理实质性的数学模型的例子，但是他对这些问题缺少实质性的实验证据，未能写出无可辩驳的论述。论者可能认为牛顿只注重从实验运用归纳法得出定律，而无视演绎法的重要性。这是有违事实的。1713年牛顿在出版《原理》第 2版时在给他的学生科茨的信中提到运动定律是居于首位的定律或称之为公理，并说它们都是从现象中推断或称演绎而来的，并运用归纳法使之普适化。牛顿说：“这是一个命题在哲学中所能达到最高境界的例证。”诚然，必须看到归纳与演绎不能人为地对立起来。恩格斯指出“归纳和演绎正如分析和综合一样，是必然相互联系着的。不应当牺牲一个而把另一个捧到天上去”。牛顿在此早着先鞭。关于实验与假设之间的关系，牛顿在各种场合都有论述。他在给奥尔登堡的信中说：“进行哲学研究的最好和最可靠的方法，看来第一是勤勤恳恳地探索事物的属性并用实验来证明这些属性。然后进而建立一些假说，用以解释这些事物的本性。”给科茨信中说：“任何不是从现象中推论出来的说法都应称之为假说，而这样一种假说无论是形而上学的还是物理学的，无论属于隐蔽性质的还是力学性质的，在实验哲学中都没有它们的地位。”牛顿这些论述奠定了自然哲学的基础，启开了实验科学的大门，300年来为自然科学的繁荣立下了不朽功勋。牛顿研究事物规律的方法不同于那些只从简单的物理假设出发的人，而是通过逻辑的演绎法得到对事物现象的解释。爱因斯坦指出：“牛顿才第一个成功地找到了一个用公式清楚表述的基础，从这基础出发他用数学的思维，逻辑地、定量地演绎出范围很广的现象并且同经验相符合。”“在牛顿之前还没有什么实际的结果支持那种认为物理因果关系有完整链条的信念。”牛顿是完整的物理因果关系创始人；而因果关系正是经典物理学的基石。牛顿出身于笃信基督教的家庭。在剑桥求学时代,他就怀着宗教生活里亦如科学实验一样可以自由自在的幻想和工作。《原理》完成后，他便着手有关基督教《圣经》的研究，并开始写这方面的著作,手稿达150万字之多，绝大部分未发表。可见牛顿在宗教著述上浪费了大量时间的精力。关于牛顿在1692～1693年间答复本特莱大主教 4封信论造物主（上帝）之存在，最为后人所诟病。所谓神臂就是第一推动出于第四封信中。从现代宇宙学来说，第一推动完全可能在物理框架中解决，而无需“神助”。
牛顿反对那时英国的国教“英格兰教”。他反对三一教义，但不鲜明表白自己的意志，只是隐蔽地表明不愿担任圣职。总之，在对于宗教问题上牛顿比之于他的先驱者如哥白尼、布鲁诺、伽利略等赴汤蹈火而不辞的精神，则逊色多了。
1942年爱因斯坦为纪念牛顿诞生 300周年而写的文章，对牛顿的一生作如下的评价“只有把他的一生看作为永恒真理而斗争的舞台上一幕才能理解他”。此赞语最恰当不过的了。
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