勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方（a²+b²=c²） 。
勾股定理在西方被称为Pythagoras定理，它以公元前6世纪希腊哲学家和数学家的名字命名。可以有理由认为他是数学中最重要的基本定理之一，因为他的推论和推广有着广泛的引用。
虽然这样称呼，他也是古代文明中最古老的定理之一，实际上比Pythagoras早一千多年的古巴比伦人就已经发现了这一定理，在Plimpton 322泥板上的数表提供了这方面的证据，这块泥板的年代大约是在公元前1700年。对勾股定理的证明方法，从古至今已有400余种。
勾股数的3条规律:1、凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。2、在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。3、在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续整数之和的二倍。
规律一：在勾股数（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）（9，40，41）中，我们发现：
由（3，4，5）有：3 2 =9=4+5；
由（5，12，13）有：5 2 =25=12+13；
由（7，24，25）有：7 2 =49=24+25；
由（9，40，41）有：9 2 =81=40+41。
即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。因此，我们把它推广到一般，从而可得出以下公式：
∵（2n+1） 2 =4n 2 +4n+1=（2n 2 +2n）+（2n 2 +2n+1）
∴（2n+1） 2 +（2n 2 +2n） 2 =（2n 2 +2n+1） 2 （n为正整数）
勾股数公式一：（2n+1，2n 2 +2n，2n 2 +2n+1）（n为正整数）。
规律二：在勾股数（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中，我们发现：
由（6，8，10）有：6 2 =36=2×（8+10）；
由（8，15，17）有：8 2 =64=2×（15+17）；
由（10，24，26）有：10 2 =100=2×（24+26）；
即在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续整数之和的二倍，推广到一般，从而可得出另一公式：
∵（2n） 2 =4n 2 =2[（n 2 -1）+（n 2 +1）]
∴（2n） 2 +（n 2 -1） 2 =（n 2 +1） 2 （n≥2且n为正整数）
勾股数公式二：（2n，n 2 -1，n 2 +1）（n≥2且n为正整数）。
我们知道，像3，4，5这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数勾股数有什么规律,下面就让我们分类探究一下:
1、最短边的长度为奇数，观察下表中的勾股数：
根据上面的表格，我们可以发现以上勾股数具备一定的特征
其中，a=n+(n+1)=2n+1，
b=2n(n+1)=2n2 +2n，
c=2n(n+1)+1=
2n2 +2n+1，
容易验证：
(2n+1)2+(2n2 +2n)2=(2n2 +2n+1)2，
即当最短边的长度为奇数时，勾股数符合上面的规律
2、最短边的长度为偶数时,观察下面表格中的勾股数：
最短边为偶数时，
a=2(n+1)=2n+2，b=n2 +2n，c=
n2 +2n+2，
容易验证：
(2n+2)2+(n2 +2n)2=(n2 +2n+2)2，
即当最短边的长度为偶数时，勾股数符合以上规律
1、勾股定理的由来
勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
3、勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在
中，
，则，
，
。
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系。
③可运用勾股定理解决一些实际问题。
所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：
1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n^2+2n, c=2n^2+2n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4n^2-1, c=4n^2+1，例如：
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
勾股数
凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。
①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。计算05（9-1），05（9+1）与05（25-1），05（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。
②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。
③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。
设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a2+b2=c2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2，求出正整数解。
例：已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17，10、24、26…等。
再来看下面这些勾股数：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41，11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。
观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：
1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。
2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与另两边的和。
掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。
例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是13，求这个直角三角形的周长是多少？
用特点1解：设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1，则有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周长=13+84+85=182。
用特点2解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因此周长=169+13=182。
勾股数的通项公式：
题目：已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数，求a,b,c满足的条件
解答：
结论1：从题目中可以看出,a+b>c （1）,联想到三角形的成立条件容易得出。
结论2：a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b) （2）
从（2）中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质，令X=c+b,Y=c-b
所以：a^2=XY,(X>Y,a>Y) （3）
首先将Y做分解，设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=nm^2 （4）
又（3）式可知a^2=Xnm^2 （5）
比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子，否则与（4）中的最大平方数矛盾。
同理可知a^2=Yn'm'^2 （6），X=n'm'^2,且 n'为不相同素数的乘积
将（5）式与（6）式相乘得a^2=(mm')^2n'n,（n,n'为不相同素数的乘积） （7）
根据（7）知nn'仍然为平方数，又由于n',n均为不相同素数乘积知n=n'(自行证明，比较简单）
可知a=m'mn
c=(X+Y)/2=(nm^2+nm'^2)/2=n(m^2+m'^2)/2
b=(X-Y)/2=n(m'^2-m^2)/2
a=mnm'
勾股数的常用套路
所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：
1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n^2+2n, c=2n^2+2n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。
2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。
所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4n^2-1, c=4n^2+1，例如：
n=2时(a,b,c)=(8,15,17)
n=3时(a,b,c)=(12,35,37)
n=4时(a,b,c)=(16,63,65)
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