实对称矩阵A正定 A合同于单位矩阵 A的特征值都大于0 X'AX的正惯性指数 = n A的顺序主子式都大于0 实对称矩阵A半正定 A合同于分块矩阵(Er,O; O,O) , r<n A的特征值都大于等于0, 且至少有一个特征值等于0 X'AX的正惯性指数 p < n
对称矩阵的正定性，半正定，负定性与该对称矩阵特征值的关系是：
矩阵的正定当且仅当其特征值都大于0；
矩阵的半正定当且仅当其特征值都大于或等于0；
矩阵的负定当且仅当其特征值都小于0。
一． 定义
因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系,所以在定义正定矩阵之前,让我们先定义正定二次型:
设有二次型 ,如果对任何x 0都有f(x)>0( 0) ,则称f(x) 为正定（半正定）二次型
相应的,正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为：
令A为 阶对称矩阵,若对任意n 维向量 x 0都有 ＞0(≥0)则称A正定（半正定）矩阵；反之,令A为n 阶对称矩阵,若对任意 n 维向量 x≠0 ,都有 ＜0（≤ 0）,则称A负定（半负定）矩阵
例如,单位矩阵E 就是正定矩阵
二． 正定矩阵的一些判别方法
由正定矩阵的概念可知,判别正定矩阵有如下方法：
1n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数
证明：若 ,则有
∴λ＞0
反之,必存在U使
即
有
这就证明了A正定
由上面的判别正定性的方法,不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负
2．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E
证明：A正定
二次型 正定
A的正惯性指数为n
3．n阶对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵U使 ；进一步有 （B为正定（半正定）矩阵）
证明：n阶对称矩阵A正定,则存在可逆矩阵U使
令 则
令 则
反之,
∴A正定
同理可证A为半正定时的情况
4．n阶对称矩阵A正定,则A的主对角线元素 ,且
证明：（1）∵n阶对称矩阵A正定
∴ 是正定二次型
现取一组不全为0 的数0,…,0,1,0…0(其中第I个数为1)代入,有
∴
∴A正定
∴存在可逆矩阵C ,使
5．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的 n 个顺序主子式全大于零
证明：必要性：
设二次型 是正定的
对每个k,k=1,2,…,n,令
,
现证 是一个k元二次型
∵对任意k个不全为零的实数 ,有
∴ 是正定的
∴ 的矩阵
是正定矩阵
即
即A的顺序主子式全大于零
充分性：
对n作数学归纳法
当n=1时,
∵ ,显然 是正定的
假设对n-1元实二次型结论成立,现在证明n元的情形
令 ,,
∴A可分块写成
∵A的顺序主子式全大于零
∴ 的顺序主子式也全大于零
由归纳假设,是正定矩阵即,存在n-1阶可逆矩阵Q使
令
∴
再令 ,
有
令 ,
就有
两边取行列式,则
由条件 得a＞0
显然
即A合同于E ,
∴A是正定的
三． 负定矩阵的一些判别方法
1．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n
2．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零
3．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的顺序主子式 满足
,
即奇数阶顺序主子式全小于零,偶数阶顺序主子式全大于零
由于A是负定的当且仅当-A是正定的,所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出,故证明略
四．半正定矩阵的一些判别方法
1． n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩
2． n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零,但至少有一个特征值等于零
3． n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的各阶主子式全大于等于零,但至少有一个主子式等于零
注：3中指的是主子式而不是顺序主子式,实际上,只有顺序主子式大于等于零并不能保证A是半正定的,例如：
矩阵 的顺序主子式 ,,,
但A并不是半正定的
关于半负定也有类似的定理,这里不再写出
答案是B，半正定。
如果是正定矩阵，那么矩阵的特征值全部为正！
如何辨别正定和半正定和负定：
一．
定义
因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型:
设有二次型
,如果对任何x
0都有f(x)>0(
0)
，则称f(x)
为正定（半正定）二次型。
相应的，正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为：
令A为
阶对称矩阵，若对任意n
维向量
x
0都有
＞0(≥0)则称A正定（半正定）矩阵；反之，令A为n
阶对称矩阵，若对任意
n
维向量
x≠0
,都有
＜0（≤
0），
则称A负定（半负定）矩阵。
例如，单位矩阵E
就是正定矩阵。
二．
正定矩阵的一些判别方法
由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：
1n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的
n
个特征值全是正数。
2．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。
3．n阶对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在
n阶可逆矩阵U使
；进一步有
（B为正定（半正定）矩阵）。
4．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的
n
个顺序主子式全大于零。
三．
负定矩阵的一些判别方法
1．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n。
2．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零。
3n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零。
由于A是负定的当且仅当-A是正定的，所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出，故证明略。
四．半正定矩阵的一些判别方法
1．
n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩。
2．
n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。
3．
n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的各阶主子式全大于等于零，但至少有一个主子式等于零。
实对称矩阵A的秩就是二次型X^TAX的任一标准形中系数非零的项数，也就是A的非零特征值的个数。半正定矩阵的特征值大于等于0，半正定矩阵的秩等于其正特征值的个数，现在A的秩为r<n,所以二次型X^TAX的任一标准形中系数有r项为正，其余为0，所以规范型是z1^2++zr^2第二个问题，A正定时，特征值全是正数，规范型是z1^2++zn^2
考虑概率分布组成的线性空间,显然协方差是其中的一个bilinear form,而且显然是非退化的,所以它是一个内积。由此可知,协方差矩阵是关于协方差这个内积的Gram矩阵,自然是对称半正定的,而且它是正定的当且仅当所有涉及的概率分布都是线性无关的。
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