二项分布的特征函数如下：
二项分布的分布函数公式：s^2=((m-x1)^2+(m-x2)^2++(m-xn)^2)/n。
在n次独立重复的伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p。用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X的可能取值为0，1，…，n，且对每一个k（0≤k≤n），事件{X=k}即为“n次试验中事件A恰好发生k次”，随机变量X的离散概率分布即为二项分布。
图形特点
对于固定的n以及p，当k增加时，概率P{X=k}先是随之增加直至达到最大值，随后单调减少。可以证明，一般的二项分布也具有这一性质，且:
1、当（n+1）p不为整数时，二项概率P{X=k}在k=[(n+1)p]时达到最大值。
2、当（n+1）p为整数时，二项概率P{X=k}在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1时达到最大值。
统计学定义
二项分布是n个独立的成功或者失败试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这种单次成功或者失败试验被称为伯努利试验，而当n=1时，二项分布就是伯努利分布。
二项分布是显著性差异的二项试验的基础，可以帮助我们了解和监控生产实践过程中由于某些因素而导致的波动。
二项分布X~B(n,p)，期望值E(X)=np，意义表示随机变量X的平均值，或平均水平。
n表示n次试验，p表示单次试验的成功概率。
二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。
在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关。
事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。
二项分布公式推到过程：
如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是
P(ξ=K)= C(n,k) p^k (1-p)^(n-k), 其中C(n, k) = n!/(k! (n-k)!) 注意：第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。
那么就说这个属于二项分布。其中P称为成功概率。
记作ξ~B(n,p)期望：Eξ=np
方差:Dξ=npq
其中q=1-p
证明：由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。
因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和。
设随机变量X（k）(k=1,2,3n)服从（0-1）分布，则X=X(1)+X(2)+X(3)X(n)。
因X(k)相互独立,所以期望：E(X)=E[X(1)+X(2)+X(3)X(n)]=np。
方差：D(X)=D[X(1)+X(2)+X(3)X(n)]=np(1-p)。
扩展资料
在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。
这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当n=1 时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显著性差异的二项试验的基础。
二项分布在心理与教育研究中，主要用于解决含有机遇性质的问题。所谓机遇问题，即指在实验或调查中，实验结果可能是由猜测而造成的。
比如，选择题目的回答，划对划错，可能完全由猜测造成。凡此类问题，欲区分由猜测而造成的结果与真实的结果之间的界限，就要应用二项分布来解决。
参考资料来源：百度百科-二项分布
设在 个产品中有 个不合格品，从这 个产品中不放回的等可能的随机抽取 个产品，随机变量 表示这 个产品中包含的不合格品的数量，则 的分布就符合超几何分布 ，且分布列为：
设随机事件 在一次试验中发生的概率为 ，随机变量 表示在 次重复的独立试验中事件 发生的次数，则 的分布就符合二项分布 ，且分布列为：
设随机事件 在一段时间内发生的平均次数为 ，随机变量 表示在一段时间内事件 发生的总次数，则 的分布就符合泊松分布 ，且分布列为：
对于超几何分布随机变量 ，当固定 和 ， 时， 的分布极限是二项分布，即：
证明：
这就证明了超几何分布的极限是二项分布，同时也说明了，当不合格率固定并且产品数量足够大时，不放回抽样的概率分布非常接近放回抽样的概率分布。
对于二项分布随机变量 ，当 时， 的分布极限是泊松分布，即：
证明：
设随机变量 表示在一段时间内随机事件 发生的次数。现在将这段时间分割为 个足够多的时间段，并假设在每个时间段内，事件 发生的概率为 ，且最多只能发生 1 次，并假设 ，那么在这种假设下，变量 符合二项分布，有：
， 替换为
这就证明了二项分布的极限是泊松分布，当 特别大， 特别小时，可以使用 来近似计算 。
设随机变量 且相互独立，那么随机变量
证明：
从二项分布定义的角度考虑，对于随机事件 ， 表示在 次独立试验中事件 发生的次数， 表示在 次独立试验中事件 发生的次数，所以随机变量 就表示在 次试验中事件 发生的次数。
下面通过计算对命题进行证明：
这就证明了 ，结论可以推广到 个独立的二项分布随机变量的情况：若相互独立的随机变量 ，则
设随机变量 ，则分布列 在 区间内单调非减，在 区间内单调非增，其中
证明：
设 ，则分布列的比值为：
可以看出， 是 的单调递减函数，当 时可得：
这就证明了二项分布的分布列在 处取的最大值，特别的：
当 时，即事件发生的概率特别小时， 在 上都是单调非增的；
当 时，即事件发生的概率特别大时， 在 上都是单调非减的；
设随机变量 ，则分布函数 是 的单调递减函数，且有：
证明：
， 为常数
这就证明了 ，且 是 的单调递减函数。
设随机变量 ，且相互独立，那么随机变量
证明：
从泊松分布的定义进行考虑， 表示在一段时间内事件 发生的次数， 表示在一段时间内事件 发生的次数，那么 就表示在一段时间内事件 发生的次数，所以
下面通过计算进行证明：
这就证明了 ，结论可以推广到 个独立的泊松分布随机变量的情况：若相互独立的随机变量 ，则
设随机变量 ，则分布列 在 区间内单调非减，在 区间内单调非增，其中
证明：
设 ，则分布列的比值为：
可以看出， 是 的单调递减函数，当 时可得：
这就证明了泊松分布的分布列在 处取的最大值，特别的：
当 时，即单位时间内事件发生的平均次数特别小时， 在 上都是单调非增的；
当 时， 先增大后减小，并在 处达到最大值；
设随机变量 ，则分布函数 是 的单调递减函数，且有：
证明：
， 为常数
这就证明了 ，且 是 的单调递减函数。
另外，通过 做变量替换 ，则有：
其中， 为自由度 的卡方分布函数，即：
泊松分布函数和卡方分布函数可以进行相互计算 。
设随机变量 ， 表示一批元件的寿命分布。现在做一个试验，从零开始计时，首先取一个元件进行测试，当元件失效时就取另一个元件替换后继续测试。设随机变量 表示到时间 为止，失效的元件个数（或进行替换的次数），证明 。
证明：设 表示自由度为 的卡方分布密度函数，并且我们知道 符合自由度为 的卡方分布。下面对 的取值分别进行证明。
1 的概率为：
2 的条件概率为：
综合1和2可知， 。另外，通过数学归纳法也可以对此进行证明。
是的，二项分布是离散型随机变量。离散型随机变量是指其取值为有限或可数无限个，其中每个取值对应的概率都是确定的，且随机变量取任意值的概率和为1。二项分布与试验次数n和成功概率p有关，其概率分布函数可表示为P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)，其中，X为二项分布的随机变量，k为取值范围，C(n,k)为组合数，表示n个中取k个不重复的组合数。因此，二项分布符合离散型随机变量的定义。
二项分布和古典概率的区别：
二项分布：在n次独立重复的伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p。用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X的可能取值为0，1，…，n,且对每一个k（0≤k≤n）,事件{X=k}即为“n次试验中事件A恰好发生k次”，随机变量X的离散概率分布即为二项分布（Binomial Distribution）。
古典概率：通常又叫事前概率，是指当随机事件中各种可能发生的结果及其出现的次数都可以由演绎或外推法得知，而无需经过任何统计试验即可计算各种可能发生结果的概率。
古典概率的注意事项
对毫无秩序的经营管理工作做出决策时，应用这种方法就会发生各种各样的问题。这主要表现在：
1、古典概率的假想世界是不存在的。对于那些不能肯定发生，但又有可能发生的事情，古典概率不予考虑，如硬币落地后恰恰站在它的棱上；一次课堂讨论概率时突然着了火等。这些事情都是极其罕见的，但并非不可能发生，古典概率对这些情况一概不予考虑。
2、古典概率还假定周围世界对事件的干扰是均等的。这就是说，虽然按照古典概率的定义，抛平正的硬币出现正面的概率等于05，但是谁敢打赌无论什么时候抛10次准有5次出现正面呢？在实际生活中无次序的、靠不住的因素是经常存在的，为使概率具有使用价值，必须用其他方法定义概率。
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