字是名的解释和补充，是与名相表里的，所以又叫“表字”。名与字在意义上有着紧密的联系：有的意义相同，有的意义相近，有的意义相反，有的意义相延。
《礼记·曲礼》上说：“男子二十冠而字”“女子十五笄而字”。意思是男子在20岁行冠礼时加字，女子在15岁行笄礼时取字。
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周人取名的五个原则和六条禁忌：
申繻说：“名有五，有信，有义，有象，有假，有类。以名生为信，以德命为义。以类命为象，取于物为假，取于父为类。不以国，不以官，不以山川，不以隐疾，不以畜牲，不以器币。周人以讳事神，名，终将讳之。故以国则废名，以官则废职，以山川则废主，以畜牲则废祀，以器币则废礼。晋以僖侯废司徒，宋以武公废司空，先君献、武废二山，是以大物不可以命。”
参考资料来源：人民网-古人“字”中学问多
参考资料来源：人民网-揭秘：中国古人如何起名 有五个原则六条禁忌
1、古代人的字大多是由德高望重的前辈、师长或者长辈取的，一般是指在本名以外表示德行或本名的意义的字，往往是对名的解释和补充，通常与名形成表里的形式，故又称表字。
2、古时男子二十岁冠礼，女子十五岁笄礼后，不便直呼其名，所以一般会再取一个与本名涵义相关的别名，称之为字，以表其德。
3、古人有姓、名、字、号等称呼，各有用途，刚出生时就起名，成人后取字，号一般是尊重别人的称呼，与名和字不一定有意义上的联系。
4、古人的字与名的涵义相近或相辅，例如诸葛亮，字孔明，亮与孔明意思相近，岳飞，字鹏举，飞与鹏举意思相近。
古人有名有字，旧说上古婴儿出生三个月后由父亲命名。男子在二十岁行冠礼（成人礼）时取字，女子在十五岁行笄礼（许嫁）时取字。名和字往往有着意义上的关联。比如题主所举的杜甫，甫的本意就是古代在男子名字下加的美称，如《诗经﹒大雅﹒烝民》：“肃肃王命，仲山甫将之。”更多的例子则如：宰予，字字我；端木赐，字子贡。有的人名和字是同义词，比如屈平，字原（《尔雅﹒释地》：“广平曰原。”）有的人名和字则是反义词，比如曾点，字皙（《说文》：点，小黑也；皙，人色白也。）
有些时候名与字之间的关联并不只是近义反义那么简单。比如孔子，名丘，字仲尼。《史记﹒孔子世家》记载，孔子的父母“祷于尼丘”，遂生孔子，因此名丘，字仲尼。随着时间的流逝，一些字的意义发生了变迁，而许多故事也淹没在风尘，一些人的字与他们的名的关联，我们或许永远也不得而知了。
还有一种常见男子的字的构成，是常常在字的前面加“伯、仲、叔、季”表示排行，在字的后面加上“父”或者“甫”表示排行。这是周代贵族男子的做法，如此男子字的全称有三个字，如伯禽父，还有之前提过的仲山甫。也有只以排行为字的，如管夷吾，字仲；范雎，字叔。但少见。
上古时期，名和字连着说的时候，都是先称字，后称名。例如孔子的父亲叔梁（字）纥（名）。汉代以后，则先称名后称字。比如《游褒禅山记》最后记载同游者：“四人者：庐陵萧君圭（名）君玉(字)，长乐王回深父，余弟安国平父、安上纯父。”
上古尊卑等级森严，尊对卑称命，卑自称也称名；对平辈或尊辈只能称字，甚至连字都不能称（对父母）。
古人的字是尊辈取得，但他们还有很多别号，别号就可以自己取了。如苏轼字子瞻，号东坡；陆游字务观，号放翁。后人更多称他们的号而非字。当然对人称字和称号都是表达了极大的尊敬。不过古人对一个人最尊敬的称呼是既不称字也不称号，如杜工部（官名），王临川（出生地），韩昌黎（郡望）等。
古代男子20岁，女子15岁，表字。
表字是指在本名以外所起的表示德行或本名的意义的名字。古代男子20岁女子15岁，不便直呼其名。故另取一与本名涵义相关的别名，称之为字，以表其德。凡人相敬而呼，必称其表德之字。后称字为表字。
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古时怎样称呼名和字
在古代，由于特别重视礼仪，所以名、字的称呼上是十分讲究的。在人际交往中，名一般用作谦称、卑称，或上对下、长对少的称呼。
平辈之间，只有在很熟悉的情况下才相互称名，在多数情况下，提到对方或别人直呼其名，被认为是一种不礼貌的行为。平辈之间，相互称字，则认为是有礼貌的表现。
下对上，卑对尊写信或呼唤时，可以称字，但绝对不能称名，尤其是君主或自己父母长辈的名，更是连提都不能提，否则就是“大不敬”或叫“大逆不道”，所以便产生了“避讳”制度。
在古代名和字连起来称呼，也是为了表示尊敬。
参考资料来源：百度百科-表字
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