标准正态分布密度函数公式：
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
图形特征：
集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。
均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。即频率的总和为100%。
扩展资料：
由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。
为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。
若 服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换。
（标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）范围内的面积比例。）
面积分布
1、实际工作中，正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比，或变量值落在该区间的概率（概率分布）。不同 范围内正态曲线下的面积可用公式计算。
2、正态曲线下，横轴区间（μ-σ,μ+σ）内的面积为68268949%。
P{|X-μ|<σ}=2Φ（1）-1=06826
横轴区间（μ-196σ,μ+196σ）内的面积为95449974%。
P{|X-μ|<2σ}=2Φ（2）-1=09544
横轴区间（μ-258σ,μ+258σ）内的面积为99730020%。
P{|X-μ|<3σ}=2Φ（3）-1=09974
参考资料：
正态分布标准转化公式：F(x)=Φ[(x-μ)/σ]，标准正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
期望值μ=0，即曲线图象对称轴为Y轴，标准差σ=1条件下的正态分布，记为N(0，1)。正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是位置参数均数为0，尺度参数：标准差为1的正态分布。
第一参数μ是遵从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。 遵从正态分布的随机变量的概率规律为取 μ邻近的值的概率大 ，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。它的形状是中间高两边低 ，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。当μ＝0，σ2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。
正态分布可加性公式是：X+Y~N(3，8)。
相互立的正态变量之线性组合服从正态分布。
即X~N(u1，(q1)^2)，Y~N(u2，(q2)^)
则Z=aX+bY~N(au1+bu2，(a^2)(q1)^2+(b^2)(q2)^2)
扩展资料：
集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。
均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。即频率的总和为100%。
参考资料来源：百度百科-正态分布
Φ(x)=1/2+（1/√π）∑(-1)^n(x/√2)^(2n+1)/(2n+1)/n! 其中n从0求和到正无穷因为正态分布是超越函数，所以没有原函数，只能用级数积分的方法。
称其分布为高斯分布或正态分布，记为N（μ，σ2），其中为分布的参数，分别为高斯分布的期望和方差。当有确定值时，p(x)也就确定了，特别当μ=0，σ2=1时，X的分布为标准正态分布。
μ正态分布最早由棣莫佛于1730年在求二项分布的渐近公式时得到；后拉普拉斯于1812年研究极限定理时也被引入。
扩展资料
标准正分布的性质：
1、密度函数关于平均值对称
2、平均值与它的众数（statistical mode）以及中位数（median）同一数值。
3、函数曲线下68268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。
4、95449974%的面积在平均数左右两个标准差的范围内。
5、99730020%的面积在平均数左右三个标准差的范围内。
6、99993666%的面积在平均数左右四个标准差的范围内。
7、函数曲线的反曲点（inflection point）为离平均数一个标准差距离的位置。
假设有这样一组样本数据，存放于A列，首先我们计算出样本的中心值（均值）和标准差。
如下图，按图写公式计算。为了方便对照着写公式，我在显示“计算结果”旁边一列列出了使用的公式。
公式直接引用A列计算，这样可以保证不管A列有多少数据，全部可以参与计算。因为是做模板，所以这样就不会因为每次样本数据量变化而计算错误。
Excel在2007版本以后标准差函数有STDEVS和STDEVP。STDEVS是样本标准偏差，STDEVP是基于样本的总体标准偏差。如果你的Excel里没有STDEVS函数，请使用STDEV函数。
2
正态分布直方图需要确定分组数，组距坐标上下限等。如下图写公式计算。
分组数先使用25，上下限与中心值距离(多少个sigma)先使用4。因为使用公式引用完成计算，所以这两个值是可以任意更改的。这里暂时先这样放
3
计算组坐标。“组”中填充1-100的序列。此处列了100个计算值。原因后面再解释。
在G2，G3分别填入1，2。选中G2，G3单元格，将鼠标放在右下角选中框的小黑方块上。当鼠标变成黑色十字时，下拉。直至数值增加至100。如下两图
4
如下图，H2输入公式=D9，H3单元格输入公式=H2+D$7。为了使公式中一直引用D7单元格，此处公式中使用了行绝对引用。
5
选中H3单元格，将鼠标放在右下角选中框的小黑方块上。当鼠标变成黑色十字时双击，填充H列余下单元格。
6
计算频数。如图所示，在I2，I3分别填写公式计算频数。同样，选中I3单元格，将鼠标放在右下角选中框的小黑方块上。当鼠标变成黑色十字时双击，填充I列余下单元格。
7
计算正态曲线函数值。如图在J2列输入公式。同样，选中J2单元格，将鼠标放在右下角选中框的小黑方块上。当鼠标变成黑色十字时双击，填充J列余下单元格。
END
建立名称，供正态图引用
1
建立名称。[公式] 选项卡中点击 [名称管理器] ，打开 [名称管理器] 对话框，点击 [新建] 打开 [新建名称] 对话框。 [名称] 里输入“频数”，[引用位置] 里输入公式“=OFFSET(正态分布!$I$1,1,,正态分布!$D$6)”。然后点击 [确定] 。
注意，我的数据所在sheet的名称是“正态分布”。你的可能是“Sheet1”，“Sheet2”之类的名称。为了保证公式一致，建议双击工作表名称，然后修改成和我的一样的“正态分布”
2
同样建立名称“正态曲线”，[引用位置] 里输入公式“=OFFSET(正态分布!$J$1,1,,正态分布!$D$6)”；建立名称“坐标”， [引用位置] 里输入公式“=OFFSET(正态分布!$H$1,1,,正态分布!$D$6)”
END
画正态图
插入柱形图
选中刚插入的空白图形，在 [图表工具] 选项组中切换到 [设计]，点击 [选择数据] ，打开 [选择数据源] 对话框。
点击 [添加]，打开 [编辑数据系列] 对话框，如图设置 [系列名称] 和 [系列值] 来添加“频数”系列。同样如图设置添加“正态曲线系列”
编辑坐标轴引用。 [选择数据源] 对话框中点击编辑打开 [轴标签] 对话框。如图设置引用。点击 [确定] 返回 [选择数据源] 对话框，点击 [确定] 。
确保柱形图处于选中状态，点击 [图表工具]－[布局]。点击左上角 [图表区] 下拉列表，选择“系列“正态曲线””，然后点击 [设置所选内容格式]，打开 [设置数据系列格式] 对话框。选择 [次坐标轴]。
[图表工具] 选项组切换到 [设计] 选项卡。点击 [更改图表类型]，打开 [更改图表类型] 对话框。如图选择拆线图
柱形图中选中正态曲线，然后在 [图表工具] 选项组切换到 [布局] 选项卡。点击 [设置所选内容格式]，打开 [设置数据系列格式] 对话框。切换到 [线型] ，选择 [平滑线]。
至此，图形已经画完。如果只需要柱形分布图，不需要正态曲线，在柱形图中选中正态曲线，按键盘上的Delete键删除就行了。
有的专业作图软件中，柱形分布图中柱子是紧挨在一起的。要这样设置的话请在柱形图中选中柱子，然后 [图表工具] 选项组切换到 [布局] 选项卡。点击 [设置所选内容格式]，打开 [设置数据系列格式] 对话框。分类间距设为0%。切换到 [边框颜色] ，然后选择 [实线] ，颜色随便选一个，只要和柱子不是一个颜色就可以了。这里选择了黑色。
最后，试着修改下“组”和上下限与中心值距离的值，图表会自动更新。在第3步中，我们计算了100组的值，所以，只要此处的组不超过100，均可得到正确的图表。一般分组到100的情况极少，所以，第3步预留了100组的数据，以便在更改组时，总能等到正确的图表。当然，如果你原意，计算1000组也无所谓了。反正你已经学会方法了。
以后如果样本数据变更了，直接将A列数据换成新的样本数据，设置下需要的分组和上下限与中心值距离的值，正态分布图分分钟钟就出来啦。至于美化嘛，只要更改相关设置就可以了，比如开篇那张，当然，你可以把图表美化的更加漂亮，尽情发挥想象力吧。
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