其实中值定理是有具体意义的。简单说，中值就是一个函数在某个区间或者区域中间的值。中值定理主要通过函数在区域边界或者区间端点的值去表示中间的值。有了中值定理，就可以帮助我们估算函数在整个区域或者区间里大致情况。数学上估算中值的方法大体上有利用微分（导数）的方法和利用积分的方法。因此也有微分中值定理和积分中值定理之分。
在现实计算中，我们很有可能只能观测到函数在边界或者区间端点的值。比如，在作电测量时，间断测量结果就是区间端点的值。基于中值定理，就可以估算它在区间上其它地方的值。因此，中值定理通常与最大、最小估值相关。数学本身是研究数值的，也不能说它不讲意义，它与其它事物之间的映射是一对多的。直观理解是抽象发展的基础。不能一概而论说数学不讲意义。
拉格朗日微分中值定理 内容是说一段连续光滑曲线中必然有一点，它的斜率与整段曲线平均斜率相同（严格的数学表达参见下文）。中值定理又称为微分学基本定理，拉格朗日定理，拉格朗日中值定理，以及有限改变量定理[1]等。 内容 如果函数f(x)满足 在闭区间[a,b]上连续； 在开区间(a,b)内可导， 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。 [编辑本段]罗尔定理 内容 如果函数f(x)满足 在闭区间[a,b]上连续； 在开区间(a,b)内可导； 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得<math>f^\prime(\xi)=0</math>。 补充 如果函数f(x)满足： 在闭区间[a,b]上连续； 在开区间(a,b)内可导； 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0 几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧 （方程为 ）是一条连续的曲线弧 ，除端点外处处有不垂直于 轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明， 弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的： [编辑本段]柯西中值定理 如果函数f(x)及F(x)满足 (1)在闭区间[a,b]上连续； (2)在开区间(a,b)内可导； (3)对任一x(a,b)，F'(x)!=0 那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式 [f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ) 成立[编辑本段]积分中值定理 f(x)在a到b上的积分等于(a-b)f'(c),其中c满足a<c<b 积分中值定理: 若f(x) 在[a, b]上连续, 则在（a, b）上至少存在一个点ε, 满足 b ∫f(x)dx=f(ε)(b-a) a 例1 证明 证明: 评注: 按原来的中值定理, 只能得到“³ 0”; 按改进后的中值定理, 因为 , 所以得到“> 0” 例2 假设 上连续且严格单减, 试证对任何 有 证明: = 因为, 所以才得到“> 0”的不等式 例3 假设 为[0, 1]上的连续、非负、严格单减函数, 且 , 证明 证明: (由于使用改进后的中值定理, 所以才得到上面严格不等号的不等式) 由以上二个不等式, 可以得到 二边乘以 , 得 因为, 由于 为[0, 1]上的连续、非负, 所以 顺便指出, 陈文灯先生的“数学复习指南”中, 关于单调性的定理也需要改进 原书中的关于单调性的定理: 定理 假设[a, b]区间内可导, 如果f'(x)>0（f'(x)<0） , 则函数f(x)在[a, b] 区间内单调增加(或单调减少) 应改成: 定理 假设在[a, b]上的连续函数在[a, b]区间内可导, 如果f'(x)>=0（f'(x)<=0）, 则函数f(x)在[a, b] 区间内单调增加(或单调减少)(同济版“高等数学”第五版上册p144) >
费马中值定理公式：
利用连续函数在闭区间的介值定理可解决的一类中值问题，即证明存在ξ∈[a，b]，使得某个命题成立。利用罗尔定理、费马定理可解决的一类中值定理，即证明存在ξ∈[a，b]，使得H(ξ，f(ξ)，f’(ξ))=0。
费马定理通俗解释
费马大定理，也即费马方程，其中的N如果等于或大于3，就将不可能有完全的整数解，也即就将进入某种创造性“三”的混沌域。只有进入了混沌域才可能产生和创造新的事物。
费马大定理，简单理解就是费马提出的一个定理，具体定理的内容就是x的N次方+y的N次方=z的N次方,当n大于2时，这个方程没有任何整数解。
这个等式看起来和我们初中学过的勾股定理很像，而费马大定理就是费马在勾股定理的基础上进行的一个研究。
2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方之和。即勾股定理。
大约在公元1637年前后 ，当费马在研究毕达哥拉斯方程时，他写下一个方程，非常类似于毕达哥拉斯方程：费马在《算术》这本书的靠近问题8的页边处记下这个结论的同时又写下一个附加的评注：
“对此，我确信已发现一个美妙的证法，这里的空白太小，写不下。”这就是数学史上著名的费马大定理或称费马最后的定理。
三大中值定理关系是：可以认为罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，拉格朗日中值定理又是柯西中值定理的特例因为,在柯西中值定理中令g(x)=x，即得到拉格朗日中值定理;在拉格朗日中值定理中增加条件 F(a)=F(b),即得到罗尔定理。
拉格朗日中值定理：中值定理是微积分学中的基本定理，由四部分组成。内容是说一段连续光滑曲线中必然有一点，它的斜率与整段曲线平均斜率相同。中值定理又称为微分学基本定理，拉格朗日定理，拉格朗日中值定理，以及有限改变量定理等。
柯西中值定理：柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。其几何意义为，用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。该定理可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式。
积分中值定理：积分中值定理，是一种数学定律。分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其中，积分第二中值定理还包含三个常用的推论。这个定理的几何意义为:若f(x)>0，xE [a,b]，则由x轴、x=a、x=b及曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积等于一个长为b-a，宽为f()的矩形的面积。
1,罗尔（Rolle）定理
如果函数f(x)
在闭区间[a
,b]上连续,在开区间(a,b)
内可导,且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)
,那末在(a,b)
内至少有一点ξ
(a<ξ<b),
使得函数f(x)
在该点的导数等于零，即f'(ξ)=0
2,拉格朗日定理
如果函数
f(x)
满足：
1)在闭区间[a,b]上连续；
2)在开区间(a,b)内可导。
那么：在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，
使等式
f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)
成立。
3,柯西中值定理
如果函数f(x)及F(x)满足
(1)在闭区间[a,b]上连续；
(2)在开区间(a,b)内可导；
(3)对任一x(a,b)，F'(x)≠0
那么在(a,b)
内至少有一点ξ，使等式
[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'()/F'(ξ)
成立
积分中值定理表达式为：f(x)dx=f(ξ）(b-a)（a≤ξ≤b)。
若函数f(x)在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一个点ξ，使上式成立。中值定理的主要作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则。
积分中值定理在定积分的计算应用中具有重要的作用，下面我们给出几个具体的常见的例子，通过实际应用来加深对积分中值定理的理解。
积分中值定理的作用：
积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。
因此，对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式，或者要证的结论中含有定积分，或者所求的极限式中含有定积分时，一般应考虑使用积分中值定理， 去掉积分号，或者化简被积函数。
微分中值定理分为罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，又（统）称为微分学基本定理、有限改变量定理或有限增量定理，是微分学的基本定理之一，内容是说一段连续光滑曲线中必然有一点，它的斜率与整段曲线平均斜率相同（严格的数学表达参见下文）。
罗尔中值定理[编辑]
主条目：罗尔定理
罗尔定理的几何意义
如果函数 满足
在闭区间 上连续；
在开区间 内可导；
在区间端点处的函数值相等，即 ，
那么在内至少有一点，使得 。这个定理称为罗尔定理。
拉格朗日中值定理及正式叙述[编辑]
主条目：拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理的几何意义
令 为闭区间 上的一个连续函数, 且在开区间 内可导, 其中 那么在 上存在某个 使得
此定理称为拉格朗日中值定理。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。
这个定理在一个更一般的条件下仍然成立。只需假设 在 连续, 那么在 内对任意 ，极限
存在，为一个有限数字或者等于+∞或−∞ 如果有限, 则极限等于 定理的这个版本的应用的一个例子由从 到 的实值三次方根函数映射给出 , 其导数在原点趋于无穷。
注意若一个可导函数是复变量的而不是实变量的，上面叙述的这个定理就不正确了。例如, 对全部实数 定义 。那么
当 时。
柯西中值定理[编辑]
柯西中值定理, 也叫拓展中值定理, 是中值定理的一般形式。它叙述为: 如果函数f和g都在闭区间[a,b]上连续, 且在开区间(a, b)上可导, 那么存在某个c ∈ (a,b), 使得
柯西定理的几何意义
当然, 如果g(a) ≠ g(b)并且g′(c) ≠ 0, 这等价于:
在几何上, 这表示曲线
的图像存在平行于由(f(a),g(a))和(f(b),g(b))确定的直线的切线 但柯西定理不能表明在任何情况下不同的两点(f(a),g(a))和(f(b),g(b))都存在切线, 因为可能存在一些 c值使f′(c) = g′(c) = 0, 换句话说取某个值时位于曲线的驻点; 在这些点似乎曲线根本没有切线 下面是这种情形的一个例子
在区间[−1,1]上，曲线由(−1,0)到(1,0), 却并无一个水平切线; 然而它有一个驻点(实际上是一个尖点)在t = 0时。
柯西中值定理可以用来证明洛必达法则 (拉格朗日)中值定理是柯西中值定理当g(t) = t时的特殊情况
参考资料：
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