设R为所有n维向量的全体，并在其上定义了向量的加法运算和数乘运算，则称R为n维向量。多维空间中，例如，一位狙击手。在实地发射子弹的时候，考虑条件很多。如子弹初速度、风向、风力、环境能见度、空气湿度、气压，等等。甚至“噪音多少分贝”，都会影响子弹命中率的。这些因素，是同时出现的，属于n维向量。
数学中，既有大小又有方向且遵循平行四边形法则的量叫做向量。向量有方向与大小，分为自由向量与固定向量。数学中，把只有大小但没有方向的量叫做数量，物理中称为标量。例如距离、质量、密度、温度等。
1、设向量组 线性无关，且 证明向量组 线性无关
证：设 由
即：
k元一次线性方程组
系数行列式为
方程组仅有唯一的零解，所以向量组 线性无关。
向量组 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余m-1向量线性表示。
证： 若向量组 线性相关，则一定存在一组不全为零的数 ，使
不妨设 ，于是有：
不妨设
即 线性相关。
判断题：下面结论对否？
向量组 线性相关,则 可由 线性表示。
答：错误，定理说有一个可由其他表示，但是并未指明是哪个。
设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则 可由 线性表示且表示式惟一。
证： 向量组 线性相关，则一定存在一组不全为零的数 ，使 这里必有 ，否则，有
由向量组 线性无关知： 故 可由 线性表示。
下面证明表示式惟一。
设
由向量组 线性无关知：
所以表示式唯一。
在一个向量组中，若有一个部分向量组线性相关，则整个向量组也必定线性相关。反之不对。
反例：
这个向量组线性相关，但是任两个向量组都是线性不相关。部分相关可推大的相关，但是大的相关推部分相关是错的。
该定理的逆否命题成立：一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都线性无关。
m个n维向量 线性相关的充要条件是由 构成的矩阵
的秩
证明见下讲，本讲主要学会用这个定理做题。
例3：讨论 的相关性。
解：
线性相关。
我们已经用三种方法作过这个题目了，
1求组合式。
2定义证明，组合系数不全为零。
3将向量组排成矩阵，由矩阵的秩确定。
推论1：当m>n时，m个n维向量线性相关。
推论2：任意m个n维向量线性无关的充要条件是由它们构成的矩阵 的秩
推论3：任意n个n维向量线性无关的充要条件是由它们构成的方阵A的行列式不等于零。或
推论4：任意n个n维向量线性相关的充要条件是由它们构成的方阵A的行列式等于零。或
若m个r维向量 线性无关，则对应的m个r+1维向量 也线性无关。
用语言叙述为：
线性无关的向量组，添加分量后仍旧线性无关。
推论：r维线性无关的向量组，添加n-r个相应分量组成的n维向量组仍旧线性无关。
1、 为何值时，向量组 线性相关？
2、叙述定理1—定理5。
3、证明定理4与定理5。
N维坐标系中中，每一组数据都代表一种状态。
向量就是代表从这个坐标系的基本状态(零点)到某一状态的差值的数学模型。
就像平面直角坐标系中，向量就代表，向量顶点到原点的距离。
三维空间坐标系中，也是距离。
如果加上一个时间维度，就是时空差距。
依此类推。
计算机中的n维向量，也是代表一组表示状态的数据。
比方，描述物体运动，某一时刻的三维方向上的速度分量，三维方向上的加速度分量，这就是六个数值，抽象出来，就是一组六维向量。
n维单位行向量（a1，a2，a3，an），它的转置就是n维单位列向量。
n维单位列向量，分别是：
（1，0，0，0）^T。
（0，1，0，0）^T。
（0，0，1，0）^T。
（0，0，0，1）^T。
性质是，各分量除了1个1之外，其余都是0。
向量的记法：
印刷体记作黑体（粗体）的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中(2，3)是一向量。
线性代数中“n维向量”中的“n维”是指向量的元素个数为n。比如，三维向量的形式为α=(x1,x2,x3)，五维向量的形式为β=(x1,x2,x3,x4,x5)。
向量，指具有大小和方向的几何对象，可以形象化地表示为带箭头的线段：箭头所指，代表向量的方向、线段长度，代表向量的大小。一个向量可以有多种记法，如记作粗体的字母（a、b、u、v），或在字母顶上加一小箭头→，或在字母下加波浪线~。
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