相似三角形的判定定理:
(1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,(简叙为两角对应相等两三角形相似)
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似)
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似)
直角三角形相似的判定定理:
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似
相似三角形的性质定理:
(1)相似三角形的对应角相等
(2)相似三角形的对应边成比例
(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比
(4)相似三角形的周长比等于相似比
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方
相似三角形的传递性
如果△ABC∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么△ABC∽A2B2C2
引理：若有 数字矩阵 使 ,则A与B相似
证明：
引理：对任何不为零的 数字矩阵A和 -矩阵 与 ,一定存在 -矩阵 与 以及数字矩阵 和 ,使 ,
证明：
定理：设A,B是数域P上两个 矩阵,A与B相似的充要条件为它们的特征矩阵 和 等价
证明：
矩阵A的特征矩阵 的不变因子简称为A的不变因子
两个 -矩阵等价的充要条件为它们有相同的不变因子
推论：矩阵A与B相似的充要条件是它们有相同的不变因子
矩阵的特征矩阵的秩一定为n,故 矩阵的不变因子总有n个,且它们的乘积即这个矩阵的特征多项式
注：不变因子是矩阵的相似不变量,故我们可将一个线性变换的任一矩阵的不变因子(与矩阵的选取无关)定义为此线性变换的不变因子
充要条件：
1、两者的秩相等。
2、两者的行列式值相等。
3、两者的迹数相等。
4、两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同。
5、两者拥有同样的特征多项式。
6、两者拥有同样的初等因子。
若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。
任意两个3阶矩阵A，B相似的方法：
1、先求特征多项式,f(λ)=|λE-A|,g(λ)=|λE-B|。
2、若f(λ)≠g(λ)则矩阵A,B不相似。
3。若f(λ)=g(λ),且有3个不同根,则矩阵A,B相似。
4、若f(λ)=g(λ),且有2个不同根,即f(λ)=g(λ)=(λ-a)^2(λ-b)，(aE-A)(bE-A)=(aE-B)(bE-B)=0, 则矩阵A,B相似。
两个矩阵的特征值相等的时候不一定相似。
但当这两个矩阵是实对称矩阵时， 有相同的特征值必相似。
比如当矩阵A与B的特征值相同，A可对角化，但B不可以对角化时，A和B就不相似。
判断两个矩阵相似的条件如下：
特征多项式相同，即|λE-A|=|λE-B|;秩相同，即r(A)=r(B);A，B有相同的特征值;对应行列式值相同，| A|=| B|=所有特征值连乘积;主对角元素和相同，即迹相同。这是两个矩阵相似的必要条件。
相似矩阵的定义：设A,B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使P^(-1)AP=B，则称B是A的相似矩阵, 并称矩阵A与B相似，记为A~B。
判断两个矩阵是否相似的辅助方法：判断特征值是否相等；判断行列式是否相等；判断迹是否相等；判断秩是否相等。以上条件可以作为判断矩阵是否相似的必要条件，而非充分条件。
两个矩阵相似充要条件是:特征矩阵等价行列式因子相同不变，因子相同初等因子相同，且特征矩阵的秩相同转置矩阵相似。两个矩阵若相似于同一对角矩阵，这两个矩阵相似。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用;计算机科学中，三维动画制作也需要用到知阵。
知阵的运算是数值分析领域的重要问题。将知阵分解为简单知阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。
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