欧氏空间中有平直空间。
欧式空间曲面是所谓平直空间，即在这种空间里，勾股定理是成立的。说的更准确点，曲率为0的空间叫做欧氏空间，勾股定理，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
曲率是刻画空间（或者曲面）弯曲程度的一个指标。对于非欧空间，曲率可以大于零，也可以小于零，前者以黎曼空间为代表，后者以罗巴契夫空间为代表。
由已知 (β,αi) = 0,i=1,2,,m
所以 (β,∑kiαi) = ∑(β,kiαi) = ∑ki(β,αi) = 0
所以 β 与 ∑kiαi 正交
欧氏空间，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。 这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。
欧氏空间是一个的特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。内积空间是对欧氏空间的一般化。内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。
欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。微分几何把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的性质。
拓朴学是现代数学的一个重要分支，主要是研究奇异形变的规律。通俗点说，拓朴是橡皮上的数学：在一个弹性较好地橡皮上画上较为规矩的图形（比如长方条格）后，用手任意扭曲它，画在它上面的图形将会发生各种奇异的变化，你会发现你从来没有看到过的美妙图形；或者你用手随意捏弄一个气不太足的气球，使之此鼓彼突，你会看到印在它上面的图案会发生不可思议的各种变化。而拓朴学正是用来研究这种图形变化妙处之所在的规律的
由σ的定义得σ(ε1)=σ((1,0,0)^T)=(2,1,1)^T=2ε1+ε2+ε3σ(ε2)=σ((0,1,0)^T)=(1,2,1)^T=ε1+2ε2+ε3σ(ε3)=σ((0,0,1)^T)=(1,1,2)^T=ε1+ε2+2ε3σ(ε1,ε2,ε3)=(ε1,ε2,ε3)AA
=2
1
11
2
11
1
2由于A^T=A,所以σ在一个标准正交基下的矩阵是对称矩阵所以σ是对称变换(定理)|A-λE|
=
(4-λ)(1-λ)^2所以
A
的特征值为
4,1,1(A-4E)X=0
的基础解系为
a1=(1,1,1)^T属于特征值4的全部特征向量为
k1a1,k1≠0(A-E)X=0
的基础解系为
a2=(1,-1,0)^T,a3=(1,1,-2)^T属于特征值1的全部特征向量为
k2a2+k3a3,k2,k3不全为0将a1,a2,a3单位化得R^3的标准正交基b1=(1/√3)(1,1,1)^Tb2=(1/√2)(1,-1,0)^Tb3=(1/√6)(1,1,-2)^T且
P=(b1,b2,b3)是正交矩阵,满足
P^-1AP
=
diag(4,1,1)由
(b1,b2,b3)=(ε1,ε2,ε3)P
得σ(b1,b2,b3)=σ(ε1,ε2,ε3)P=
(ε1,ε2,ε3)AP=
(b1,b2,b3)P^-1AP=
(b1,b2,b3)diag(4,1,1)故
σ在R^3的标准正交基b1,b2,b3下的矩阵是对角矩阵diag(4,1,1)
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