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聚客2022-06-08  31

秦九韶算法著作叫什么(秦九韶算法的数学成就)

  最近广东的中考题涉及了海伦-秦九韶公式。我们这里分享一篇介绍秦九韶的数学成就的文章。

  宋代是我国数学高度发展的时代,出生于四川的秦九韶是其中一位杰出代表。他的代表作《数学九章》(后一般称作《数书九章》)体现了世界同时代数学的最高成就。但对这样一个走在时代前列的科学家,《宋史》里却没有为他立传,清《四库提要》说是“未详实为何许人也”。上个世纪以来,秦九韶的数学成就被重新提起,引起了世界科学史界的瞩目。在科技兴国的今天,给予这位数学先哲应有的位置更有其积极意义。

  

  一、秦九韶其人

  有关秦九韶的家世我们所知甚少,亦颇有抵牾处。南宋末周密记:“秦九韶,……字道古,秦凤间人”。而秦九韶在《数学九章自序》后落款题“鲁郡秦九韶”。虽然如此,然勾稽史料,可得其生平事迹之大概。

  在著名的涪陵“石鱼”上,有宝庆二年(1226年)正月十二日题记的文字记载说:“郡守李禹公玉新、潼川守秦季槱宏父、郡纠曹掾何昌宗、季文、季槱之子九韶道古、禹之子泽民志可,同来游石鱼。”这是秦九韶随其父至涪州(今四川涪陵)与太守同游石鱼的记载。据《南宋馆阁录》载:秦九韶父季槱字宏父,“普州安岳人,绍熙四年(1193年)陈亮榜同进士出身,治《春秋》,十七年(1224年)九月除(秘书少监),宝庆元年(1225年)六月除直显谟阁,知潼川府”。潼川府治在今四川三台。淳祐七年鲁郡已在蒙古军治下,秦九韶所自述者,当为其祖籍所在。宋秦凤路南宋建炎时已大部落入金人之手,周密所记的“秦凤间人”,引起了若干讨论,但均属推测之词,尚无确切史料予以证实。

  

  周密画像

  周密又说,秦九韶“年十八在乡里为义兵首,豪宕不羁,尝随其父守郡”。据《宋史·宁宗纪四》,嘉定十二年(1219年)三月乙亥,“兴元军士权兴等作乱,犯巴州,守臣秦季槱弃城去。”巴州为今四川巴中。闰三月,又有“兴元军士张福、莫简等作乱”,五月,张福率军入普州,屯普州之茗山。七月,被宋王朝平定。此次兵变,其乡里普州(今四川安岳)为其所乱。“义兵”是当地的地方武装,秦九韶为“义兵首”时,或离兴元兵变时间不远,如此,秦九韶当生于嘉泰二年(1202年)左右。秦九韶曾言“早岁侍亲中都”,应在其父任秘书少监之时,秦九韶时约22岁。

  秦九韶后来任过某县县尉,李刘(字公甫,号梅亭)撰有《回秦县尉九韶谢差校正启》。李刘为江西人,嘉定七年(1214年)进士,于绍定六年(1233年)前后官成都漕,但该启写作时间难予详考。李刘启中有谓:“善继人志,当为黄素之校仇;肯从吾游,小试丹铅之点勘。”宋秘阁有黄、白本书,秦九韶父曾官秘监,正所谓“黄素校仇”之谓。又周密说秦氏曾向李刘学过“骈骊诗词”,亦启谓“肯从吾游”之意。

  《数学九章自序》中说:“际时狄患,历岁遥塞,不自意全于矢石间,尝险罹忧,荏苒十祀。”题为淳佑七年(1247年)九月。端平二年(1235年)秋,蒙古军攻入四川;次年秋,蒙古军再度攻入四川,十月攻入成都。一二年间,四川大部分州县为其残破。所谓“狄患”,即指其在家乡时所遭遇到的蒙古军对四川的侵掠。秦九韶时约34岁。

  

  《数学九章》书影

  他离开四川后,先后任过蕲州(今湖北蕲春)通判、和州(今安徽和县)守臣,即刘克庄所说他“卒蕲妄作,几激军变。守和贩卤,抑卖于民”,然不得具体。据《景定建康志》,秦九韶于淳佑四年(1244年)八月以通直郎为建康府(今江苏南京)通判,十一月为母守孝离职,回湖州(今属浙江)居住。宝祐二年(1254年)他一度到建康出任沿江制置司参议。

  宝祐六年(1258年)正月初,秦九韶至长沙,持淮阃书求职于时任湖南安抚使兼广南制置使的李曾伯处。淮阃指贾似道,时任两淮制置大使、淮东兼淮西安抚使。不久秦氏被任权守琼州(今属海南),至郡数月而罢归。后来又出任过短暂的江东议幕、农丞。周密记云:“时吴履斋在鄞,亟往投之。吴时将入相,使之先行曰:当思所处。秦复追随之。吴旋得谪,贾当国,徐摭奏事,窜之梅州。在梅治政不辍,竟殂于梅。”吴指吴潜(号履斋),其罢相在景定元年(1260年)七月。秦死于梅州(今广东梅县)任所,其赴梅州任及去世均不得具体时日,一般定在景定二年,如此,终年约59岁。

  周密说,秦九韶“性极机巧,星象音律、算术以至营造等事无不精究,迩尝从李梅亭学骈俪诗词,游戏、球、马、弓剑莫不能知”。陈振孙说:“秦博学多能,尤邃历法,凡近世诸历,皆传于秦。”并在题纪仁宗朝《崇天历》和徽宗朝《纪元历》时说:“此二历近得之蜀人秦九韶道古”。可见他是一位博学的科技人才,尤以精通数学、历法著称,且是“近世诸历”的保存者,其功已匪浅矣!

  据宋人记载,秦九韶“性喜奢好大,嗜进谋身”(周密语),甚至有“暴如虎狼、毒如蛇蝎”(刘克庄语)的指责。清人焦循为之辨云:“秦九韶为周密所丑诋,至于不堪,而其书亦晦而复显,密以填词小说之才,实学非其所知。即所称与吴履斋交稔,为贾相窜于梅州,力政不辍,则秦之为人,亦瑰奇有用之才也。”陆心源也颇同此意。吴潜素负佳望,而贾氏则有“奸相”之称,秦氏又“力政不辍”,焦循之说似有其由。但焦、陆二氏无确切材料证明秦氏的人品,而贾氏盛时,秦氏与之实为同党。近人余嘉锡先生对此辨析甚详,认为秦九韶“不自顾籍,贪横无状,予人以攻击之端,虽爱之者无以为之解免”。

  二、秦九韶数学渊源、

  《数书九章》的写作及流传

  秦九韶数学知识的积累,渊源有二。一为“太史”,一为“隐君子”。亦即他在《数学九章自序》中所说的:“早岁侍亲中都,因得访习于太史。又尝从隐君子受数学。”

  太史是专掌天文历法的朝廷官员,实际上就是当时官方认定的一些天文学家、数学家,秦九韶当在其父任秘书少监时受益于他们。前言陈振孙所得二历当亦为秦九韶“侍亲中都”时所获。秦九韶自序跟随“隐君子”学习数学时,正是前面提到的“际时狄患”之时,“尝险罹忧,荏苒十祀”,看到时事的变化而“心槁气落,信知夫物莫不有数也”。于是“肆意其间,旁诹方能,探索杳渺,粗若有得焉”。

  有人认为,“隐君子”是特指南宋“道教学者”陈元靓,我们认为是不能成立的。

  

  陈元靓铜像

  因为

  其一:从现存史料来看,陈元靓并不是一位“数学”家。他留存至今的著作《岁时广记》乃为一有关“节序”之作,其友人朱鉴(朱熹之孙)说是“搜猎经传,以至野史异书,凡有涉于节序者,萃为巨帙,殆靡一遗。仰以稽诸天时,俯以验之人事”;另一友刘纯说是“采九流之芳润,撷百氏之英华,辅以山海经海图神录怪牒,穷力积稔成一书”。朱、刘二人时均为朝廷官员。《四库提要》归是书于“时令类”,云:“书中摭月令、孝经纬、三统历诸书为纲,而以杂书所记关于节序者。……大抵为启札应用而设。”至于他另外两部今佚著作《博闻三录》和《事林广记》,从书名及留存于《岁时广记》的若干内容来说,也不是什么“数学”之作。

  其二;陈元靓《岁时广记》自题为“广寒仙裔”,其祖上“广寒先生”是福建崇人,陈抟弟子。广寒子逊为绍圣四年(1097年)进士,而元靓为“逊之裔”,理宗(1225-1264年在位)时人。“隐君子”本为泛指之词,不仕的文人均可冠之。刘纯谓为:“龟峰之麓、梅溪之湾,有隐君子广寒之孙。”是徜徉于福建山水之间的隐者,文意应已明白。而且,除他祖上为道教中人外,他本人似与“道教”没有什么瓜葛,看不出是道家学者。

  

  《岁时广记》书影

  其三:秦氏“侍亲中都”的时间很短,其父在京师任职不足十个月,旋有“石鱼”之游,他随父回川是可以肯定的。没有材料显示秦氏与陈元靓有过或可能有过某种接触。

  所以我们认为,其从隐者受数学时,必然是他在家乡遭受“狄患”之时,所谓“际时狄患”当此之谓。在古代中国,“数”学往往是与易学联在一起的,上追天文,下察地理,中观人文,一批“数学家”实即易学家们认定,宇宙万物包括人类社会的发展是“莫不有数”的,也就是说受到一种神秘且既定的“数”的约定。到北宋,邵雍集其大成,古代的“数学”有了很大的发展。在秦九韶生长之地,早有所谓“易学在蜀”的说法。民间的一批易学家,冷静地观察着自然与人世的沧桑,苦心地寻觅着其中变化的奥秘。这是一批不愿或没有机会出仕的“隐者”,其间不乏真才实学之士,正如宋时人语:“蜀多方士,得逞于道术。”秦九韶有此机遇,加上自己“肆意其间”的探索,终于取得了超迈前人的成就。正是四川这块有着丰润文化气息的土壤,孕育出了这位数学奇才。

  对于数学,秦九韶认为:“周教六艺,数实成之。……要其归,数与道非二本也。”与其说此“道”为“道教”之道,不如说是儒家“六艺”之道更为准确。《易》乃为儒、道二家所共奉,故而不必强分秦氏是儒抑道。

  秦九韶自序题为淳佑七年(1247年)九月,《数书九章》的写作应即在此上溯十年间事。周密记说:“或以历学荐于朝,得对,有奏稿及所述《数学大略》。”此前淳祐四年,朝廷接受了韩祥之请,召山林布衣造历。荐其人朝,当在此后不久。《数学大略》即当为《数书九章》。

  

  《直斋书录解题》书影

  如前所示,此部数学杰作在《直斋书录解题》中已见记录,归于历象类。书录作者陈振孙与秦九韶同时,对其才能,已有美辞。但宋世尚无刊本,故流传不广。明《永乐大典》收录此书,题为《数学九章》,共9卷。清《四库全书》本《数学九章》即从此转录并作了校订,其《提要》云:“今即《永乐大典》所载,于其误者正之,疏者辨之。颠倒者次第之。”这使该书后来得到了广泛的流传。

  后来有两个抄本,一是李锐得四库本又略加校注,一是明末常熟赵琦美脉望馆所藏者。赵氏于万历四十五年(1616年)正月跋是书,称作《数书九章》,并云为18卷,“会稽王应遴堇父借阁钞本而录焉,予转假录之。原无目录,予为增入”。阁本亦即四库本,说明赵氏本已析四库本卷数。此本到清嘉庆中为张敦仁所有,其时研治宋元数学之风极盛,学者们对秦九韶的数学著作表示了极大兴趣。顾广圻代夏文焘(字方米)作《数书九章序》说,翰林院编修江都秦恩复(敦夫太史)“校其家道古《数书》,开雕,属文焘为之覆算”,认为其间有不少乖误,“则当日成书后未经亲自覆勘耳”,但后来未见其刻本传世。

  旋有宋景昌撰《数书九章札记》四章,道光二十二年(1842年)上海郁松年泰峰氏为之撰序,详细地叙述了《数书九章》在当时的流传情况云:“余……思得宋元人秘籍,毛君生甫为予言秦道古《数书九章》思精博学。……其书转相钞录,伪脱滋多。元和沈广文曾得明人赵琦美钞本于阳城张太守家,订伪补脱,历有年所,以老病未卒业。其弟子江阴宋君景昌,能传其学,余因属毛君索其原本。会广文病甚不可得,得其副于武进李太史家。毛君又出其家藏元和李茂才所样四库馆本,并属宋君为之雠校。嗣广文没,宋君又于其家搜得秦书刊误残稿数卷。”于是乃以赵本为主,为之参校刻印,称为宜稼堂丛书本。民国《丛书集成》所收该书即为此本。

  三、《数书九章》的内容及其贡献

  在《数学九章自序》中,秦九韶说:“所谓通神明,顺性命,固肤未于见。若其小者,窃尝设为问答,以拟于用。积多而惜其弃,因取八十一题,厘为九类,立术具草,间以图发之。”所分9类,四库馆臣对其内容作了“提要”。

  “一日大衍,以奇零求总数为九类之纲。”是一次同余式组问题。

  “二日天时,以步气朔唇影及五星伏见。”有关天文、历法和雨、雪量等问题。

  “三日田域,以推方圆幂积。”有关田地面积问题。

  “四日测望,以推高深广远。”有关勾股、重差和其他测量问题。

  “五日赋役,以均租税力役。”有关田赋、户税问题。

  “六日钱谷,以权轻重出入。”有关征购米粮和仓库问题。

  “七日营建,以度土功。”有关建筑施工问题。

  “八日军旅,以定行阵。”有关兵营布置和军需供应问题。

  “九日市易,以治交易。”有关商品交易和利息计算问题。

  由上可见,《数书九章》涉及的范围是相当广泛的。大多数问题都与实际需要联系起来,可以说是实际运用的需要推动了他的研究。所谓“通神明、顺性命”,是一些大而虚玄的问题,秦氏本书的宗旨不在于此,他明说是“以拟于用”的。如四库馆臣所言:“古法设其术,九韶则别其用耳。”秦九韶之“九章”虽然与汉代《九章算术》门目不同,但继承了后者的某些风格则是明显的。全书9类共81题,每类用9个例题来阐明各种算法。每题既有说明解题的方法“术”,又有说明演算步骤的“草”。皆以问答的形式,或作图以说明之。

  

  《数学九章》书影

  秦九韶在《数书九章》中提出了许多有趣且实用性很强的问题,例如“推计土功”、“余米推数”、“天池测雨”、“计地容民”、“望山高远”、“遥度圆城”、“计造石坝”、“计立方营”等等,虽然不一定每个问题都予以了最简捷的解答,但他的探索无疑是十分可贵的。根据现有资料,秦九韶的著作可能还是我国最早使用“零”这个特殊数字者,在以后的数学著作中“零”则经常出现了。对于秦九韶的成就,数学史家作了许多深人的探讨,总的来说,他的贡献集中体现在如下两个问题中。

  一是《数书九章》第一部分讨论的不定分析,秦九韶称之为“大衍求一”术。这是一个一次同余式问题,亦即现代数论中著名的“剩余定理”问题。这个问题的最早提出是在公元4世纪我国的数学著作《孙子算经》中,其中有“物不知数”的题说:“今有物不知数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”它的解法用到求三个一次同余式的共同解,即:三三数之余数2乘70,五五数之余数3乘21,七七数之余数2乘15,三数相加,减去3、 5、7的最小公倍数105的倍数,即得所求数。列成算式则为:

  N=70×2+21×3+15×2-2×105

  这一问题流入民间后,有诸如“孙子算”、“鬼谷算”、“韩信点兵”等名称及解题歌诀。这本是个求不定方程组问题,不过其数据比较简单罢了。剩余定理是把一般的一次同余问题归结为满足条件 的一组数 的选定,秦氏称这些数为“乘率”。他明确而系统地叙述了它的一般计算步骤,以满足上式计算最终都出现余数1的条件,也就是他的所谓“大衍求一术”。“大衍”乃借用《易经·系辞上》所谓可以推演变化于无穷的“大衍之数五十”语,简言就是“求一术”。

  在西方,500多年后才出现了欧洲两位大数学家欧拉(Buler,1707—1783年)和高斯(Gauss, 1774—1855年)对此问题的有效研究,并重新获得了与“求一术”相同的定理。但一直到1852年才有英国传教士向欧洲人介绍了中国古代“物不知数”题和秦九韶的解法,引起了欧洲学者的惊讶和重视,难怪有学者称发现这一方法的中国数学家是“最幸运的天才”了。至今西方数学史著作中,这一解法被称为“中国剩余定理”,显示了秦九韶在世界数学史上的崇高地位。

  在中国古代,此一问题的研究明显受到天文、历法需要的推动。我国古代历算家把从历元(历法的起算时间,又称为上元)到编历年所累积的时间叫“上元积年”。而上元积年的推算正需要求解一组一次同余式。秦九韶曾受“太史”之教,自然为他的创造性工作打下了深厚的基础。其有“古历会积”等问题,正是这方面知识的实际运用。

  二是求高次方程的解法。解方程式的步骤在中国古代被称为“开方术”,大约生活于北宋的两位数学家先此作了研究。贾宪展示了“开方作法本源图”,在世界上首次解开了开高次幂之结,这是一种可随乘随加的开平方、开立方新法,称为“增乘方法”。其后刘益“引用带从开方正负损益之法”,突破了未知系数只能为正数的限制。贾、刘二人的生平虽然今人所知甚少,但他们的创造均比欧人早了若干世纪。

  世界上高于三次的数字方程最早是秦九韶的著作中提出的,他成功地处理了如下方程:

  

  而欧洲最先能解四次方程是意大利人费拉里(Ferrari,1522—1565年)完成的。 秦九韶更把“增乘开方法”推广成为任意高次方程的数值解法,例如方程:

  

  其中系数既可为正,也可为负,并且有整数也有小数。这样,也就把增乘开方的随乘随加的原则贯彻到底了。秦九韶提出的例题有二次方程、三次方程、四次方程共25道,十次方程1道。他把我国的高次方程数值解法推进到一个新阶段,而现代数学计算中仍然通行他的这种简便程序。这种极富创造性的贡献,在现代数学中,被称为鲁斐尼一霍纳方法,它是意大利人鲁斐尼(Ruffimi,1765—1822年)于1804年、英国人霍纳(Homer,1786—1837年)于1819年提出的,比秦九韶的发现晚了500多年。

  著名的美国科学史家萨尔顿(Sarton,1884—1956年)在他的代表作《科学史引论》中说:“秦九韶在中华民族中,是他的时代以至一切时期最伟大的数学家之一。”这个评价得到现今科学史学界的首肯,其意义自然远远不是“宋代四川”这一时空概念所能限制的了。

  

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