杨辉三角形，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形、巴斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。 杨辉三角形同时对应于二项式定理的系数。 n次的二项式系数对应杨辉三角形的n + 1行。 例如 图片参考：upload.wikimedia/math/2/d/4/2d4ed0eccf4b30a356668a436fb1620b 2次的二项式正好对应帕斯卡三角形第3行系数 1 2 1。 图片参考：upload.wikimedia/ *** /mons/thumb/e/ea/Yanghui_triangle/200px-Yanghui_triangle 图片参考：zh. *** /skins-1.5/mon/images/magnify-clip 杨辉绘画的「古法七乘方图」 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 杨辉三角形的前6行 性质 每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。 第n行的数字个数为n个。 第n行数字和为2n − 1。 每个数字等于上一行的左右两个数字之和。(因为 图片参考：upload.wikimedia/math/2/6/d/26d3ad311268aea0d2187bb85aff853d )。可用此性质写出整个帕斯卡三角形。 将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+2行第5个数……连成一线，这些数的和是第2n个斐波那契数。将第2n行第2个数，跟第2n+1行第4个数、第2n+2行第6个数……这些数之和是第2n-1个斐波那契数。 [编辑] 历史 历史上有关这个三角形的最早记载在古印度。印度数学家宾伽罗在其梵语诗集（约450年）中，提到这个「须弥山之楼梯」。他还指出了斐波那契数列和这个三角形的关系。 波斯数学家Karaji和天文学家兼诗人Omar Khayyám都发现了这个三角形，而且Karaji还知道可以借助这个三角形找n次根，和它跟二项式的关系。在伊朗，这个三角形称为「Khayyám三角形」。 义大利人称之为「塔塔利亚三角形」（Triangolo di Tartaglia）以纪念发现一元三次方程解的塔塔利亚。 13世纪中国宋代数学家杨辉在《详解九章算术》里讨论这种形式的数表，并说明此表引自贾宪的《释锁算术》，并绘画了「古法七椉方图」。 布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique（1655年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些机率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年）和亚伯拉罕·棣·美弗（1730年）都用帕斯卡来称呼这个三角形。 历史上曾经绘制过这种图表的数学家： 杨辉 南宋 1261《详解九章演算法》记载之功 朱世杰 元代 1299《四元玉鉴》级数求和公式 阿尔·卡西 *** 1427《算术的钥匙》 阿皮亚纳斯 德国 1527 施蒂费尔 德国 1544《综合算术》二项式展开式系数 薛贝尔 法国 1545 B·帕斯卡 法国 1654《论算术三角形》 [编辑] 一个数在杨辉三角形出现的次数 由1开始，正整数在杨辉三角形出现的次数为∞
1
2
2
2
3
2
2
2
4
2
2
2
2
4
... （OEIS:A003016）。最小的数而又大于1在杨辉三角形至少出现n次的数为2
3
6
10
120
120
3003
3003
... （OEIS:A062527） 除了1之外，所有正整数都出现有限次。 只有2出现刚好1次。 6
20
70等出现3次。 出现2次和4次的数很多。 还未能找到出现刚好5次的数。 120
210
1540等出现刚好6次。（OEIS:A098565）因为丢番图方程 图片参考：upload.wikimedia/math/0/3/8/03862af4ff4a8c7392babb8d00846ef2 有无穷个解[1]，所以出现至少6次的数有无穷个多。其解答是 图片参考：upload.wikimedia/math/4/6/2/462e3ff15167664d11c8028b715a5369 图片参考：upload.wikimedia/math/b/4/9/b49f31aa384ad944cb77db4d2816562b 其中Fn表示第n个斐波那契数（F1 = F2 = 1）。 3003是第一个出现8次的数。 [编辑] 参考 ↑ Singmaster
David
"Repeated Binomial Coefficients and Fibonacci numbers"
Fibonacci Quarterly
volume 13
number 4
pages 296—298
1975.
参考: zh. *** /w/index?title=%E6%9D%A8%E8%BE%89%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2&variant=zh-
规律如下：1、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。2、第n行的数字个数为n个。3、第n行数字和为2乘n减1。4、每个数字等于上一行的左右两个数字之和，可用此性质写出整个帕斯卡三角形。5、将第2n加1行第1个数，跟第2n加2行第3个数、第2n加3行第5个数，以此类推连成一线，这些数的和是第2n个斐波那契数。帕斯卡三角形即杨辉三角，二项式系数在三角形中的一种几何排列。帕斯卡三角形除每行最左侧与最右侧的数字以外，每个数字等于它的左上方与右上方两个数字之和，形似三角形，在中国首现于南宋杨辉的《详解九章算法》得名，书中杨辉说明是引自贾宪的《释锁算书》，故又名贾宪三角形。
