1、任意两个点确定一条直线
2、任意线段能无限延长成一条直线。
3、以一点为圆心一个线段为半径可以做一个圆
4、所有直角都全等。
5、过直线外一点，有且只有一条直线的平行线
以上五点在欧几里得看来都是假设，不能被证明，但众多数学家怀疑第五条公理是可以证明的。他们希望通过前四个公理以及一些推导过程得到第五条公理。而这一证明足足持续了上千年。
千年过后，一位俄罗斯数学家罗巴切夫斯基得出了一个结论，有了一个新的突破。之前大部分人都尝试通过前四条公理推到出第五条，而他直接将第五条公理改了。修改成为过直线外一点，有多条直线与已知直线平行。假如它能推出来，就一定可以跟前四个公理发生矛盾，找到这个矛盾，就可以顺藤摸瓜证明第五公理了。
然而，他将修改后的第五公理结合前四个欧式几何公理把几何中所有的定理挨个推了个遍，结果却没有矛盾，这说明第五公理是独立的，无法通过前四个公理进行证明， 其本身也是假设。
事情到这还没完，紧接着，·罗巴切夫斯基就把自己改过的第五公理结合前四个公理得出了新的几何，也就是罗氏几何。自此几何学展开了一片全新的天地。
这一次没过多久，又有一位名叫黎曼的聪明人，受到罗氏几何启发，将第五条公理修改成过直线外一点，没有直线的平行线，从此创造出了黎曼几何。
这一几何在球面上成立，在球面上画一直线，旁边有一点，无论怎样过这一点画直线，都必定与之相交。（球面上的直线，必须是球面的大圆，即过球心的平面和球面的交线。因为球面两点之间的球面最小距离是所在大圆的劣弧长）
如今我们将黎曼几何与罗氏几何称之为为欧几何，并在航海学等多个领域发挥着重要的作用。同样道理由于宇宙空间也是弯曲的，爱因斯坦借用了非欧几何作为数学工具，提出了著名的相对论。
关于平行公理的论证直至千年之后才得以突破，也许人们在原本的思维惯性中根本就无法理解两条相交的平行线，甚至仅仅是假设都无法做到。我们所了解的知识，成为了我们牢不可破的所知障。
理论上不相交，如果是三维空间的话，可能会相交，比如，将划平行线的纸对折，即会相交。即任何事情都是非绝对的。目前公认的有两种几何：欧氏几何与非欧几何。
欧氏几何的平行公理由于一直未通过其它定理证明使之成为定理，使一些敢于思考的人开始怀疑。
