你注意到了吗，商店橱窗里的罐头盒一般都是这样排列的。它们按照一定的规律排成了三角形。现在我们用圆点来表示这些罐头盒，排列如下，像上面的l、3、6、10、15这些能够表示成三角形的形状的总数量的数，叫做三角形数。想一想：能不能把9个圆点按上面的规律排成一个三角形？9是不是三角形数？再想一想：能不能把25个圆点按上面的规律排成一个三角形？25是不是三角形数？为了能方便地看出规律，我们把三角形数改排成如下图。观察这些三角形数，你发现它们有什么规律吗？原来三角形数是从l开始的连续自然数的和。l是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，10是第四个三角形数，15是第五个三角形数……那么，第七个三角形数就是：l＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28；第九个三角形数就是：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45；第十个三角形数就是：1＋2＋3＋…＋10＝55；第1OO个三角形数就是：l＋2＋3＋…＋100＝5050。练一练：（1）第5个和第6个三角形数相差（
）；第7个三角形数比第6个三角形数多（
），比第8个三角形数少（
）。（2）l＋2＋3＋…＋25＝（
），这是第（
）个三角形数。（3）l＋2＋3＋…＋27的和，是第（
）个三角形数。（4）已知第10个三角行数是55，第11个三角形数是（
）；已知第15个三角形数是120，第14个三角形数是（
）。（5）第20个三角形数是多少？第50个三角形数是多少？
（本文作者盛大启为南京晓庄国际实验学校特级教师，苏教版小学数学教材主编）
《数学小灵通》2000年第2期
它有一定的规律性，排列如下(构成图)，像上面的1、3、6、10、15等等这些能够表示成三角形的形状的总数量的数，叫做三角形数。一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数。比如10个点可以组成一个等边三角形，因此10是一个三角形数：
x
x x
x x x
x x x x
x x x x x
开始个18个三角形数是1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91、105、120、136、153、171……（OEIS中的数列A000217）
第n个三角形数的公式是 或者 。
第n个三角形数是开始的n个自然数的和。
所有大于3的三角形数都不是质数。
开始的n个立方数的和是第n个三角形数的平方（举例：1 + 8 + 27 + 64 = 100 =102）
所有三角形数的倒数之和是2。
任何三角形数乘以8再加1是一个平方数。
一部分三角形数（3、10、21、36、55、78……）可以用以下这个公式来表示：n × (2n + 1)；而剩下的另一部分（1、6、15、28、45、66……）则可以用n × (2n - 1)来表示。
一种检验正整数x是否三角形数的方法，是计算： 。
如果n是整数，那么x就是第n个三角形数。如果n不是整数，那么x不是三角形数。这个检验法是基于恒等式8Tn + 1 = S2n + 1.
特殊的三角形数
55、5,050、500,500、50,005,000……都是三角形数。
第11个三角形数（66）、第1111个三角形数（617,716）、第111,111个三角形数（6,172,882,716）、第11,111,111个三角形数（61,728,399,382,716）都是回文式的三角形数，但第111个、第11,111个和第1,111,111个三角形数不是。
和其他数的关系
四面体数是三角形数在立体的推广。
两个相继的三角形数之和是平方数。
三角平方数是同时为三角形数和平方数的数。
三角形数属於一种多边形数。
所有偶完美数都是三角形数。
任何自然数是最多三个三角形数的和。高斯发现了这个规律。他在1796年7月10日在日记中写道：EYPHKA! num = Δ + Δ + Δ
构成图
o n=1 s=1
o o n=2 s=3
o o o n=3 s=6
o o o o n=4 s=10
