昨天上午，我在辅导六年级学生数学作业的时候，我的一个学生带着神秘而迷茫的眼神问了我一个问题:“老师，一平方公里是多少平方米？”然后期待我的回答。
我马上告诉他我的答案(读者们，你们觉得是多少钱？)他应该是证明了学校老师的回答和我的一样，一脸开心。但同时，我也看到了他脸上的疑惑。我想我不明白为什么会是这样的回答。
虽然我没有直接问他，但他一开始是怎么看待这样的单位换算问题的？我应该问他的，但是我不知道为什么我没有问他。而是直接跟他解释。现在想来，应该先问问他，这样才能更清楚的知道他的想法。当时有点快，有点乱，所以今天我想用文字和图片的形式来详细说说这个问题。下次直接给学生看，应该会更一目了然。)
但我大概能猜到他的想法，我想他一定认为1平方公里=100平方米，因为他记得平方厘米、平方分米和平方米之间的进步率是100，所以他想当然地认为平方公里和平方米之间的进步率也是100。但同时他忽略了他所知道的另一个常识:1公里= 1000米，1厘米、1分米、1米这三个长度单位之间的进给率是10，1平方厘米、1平方分米、1平方米这三个自然面积单位之间的进给率是100。但是，1公里= 1000米，还能用通常的100的想法吗？
如果你真的这么认为，那只能说明大部分学生在学习数学的时候是在理解之后用记忆而不是推理。我想用我自己的方式详细解释一下。理解后如何推理，而不是死记硬背做数学题。
我们先来看一张图:
上图有三个单位，长度单位，面积单位，体积单位。以常用的单位厘米为例。图中，从左至右依次是:1 cm是长度单位，是一维。就是一条直线。
1平方厘米是面积的单位，是二维。
从图形上看，它是平的，方的。说白了，正方形其实就是正方形。一立方厘米是体积的单位，是三维的。
从平面到直立，正方形，说白了，立方体其实就是立方体。今天的重点是“方”。为什么学生会有我上面说的疑惑？我觉得根本原因是他不懂什么是正方形，他脑子里没有把它算成正方形。
正方形可以和边一样长，但也可以更大或更小。如果把正方形标准化，量化，就会有各种各样的表达。
长度为1cm的正方形或面积为1cm的正方形。
长度为2厘米的正方形或面积为4平方厘米的正方形。
长度为3厘米的正方形或面积为9平方厘米的正方形。
等等，大大小小无数个方块。
通过下面的数字，应该可以更好的理解:
(你也可以理解为什么面积公式是边长*边长。如果以1平方厘米为标准，那么其他相对较大的正方形的面积实际上取决于1平方厘米的正方形可以划分成多少个。): 大多数同学都知道1分米=10厘米，1平方分米=100平方厘米。上图一目了然。我们要经常用图形让孩子自己画画，用简化的图形呈现文字、数字、公式，让孩子逐渐形成数形结合的思维。由于长期缺乏这个动作，很多同学无法产生如此直观的图形联想。1厘米见方，边长1厘米的正方形。
1平方分米是边长为10厘米的正方形，或者边长为1分米的正方形。 以此类推，1平方米可以说是边长100厘米的正方形，也可以说是边长10分米边长1米的正方形。所以有1平方米=10分米*10分米=100平方分米。
(你可以想象把1平方米的正方形分成100个排列整齐的1平方分米的正方形)1平方米=100厘米*100厘米= 10000平方厘米
(你可以把1平方米的正方形分成1万个排列整齐的1平方厘米的正方形) 当学生问我一平方公里是多少平方米的时候？你知道我在想什么吗？我是怎么快速告诉他我的答案的？你以为我在背数学公式？其实我是在做图形联想，然后做一个简单的乘法公式得出答案。一平方公里呢？它是什么样的广场？它的边长是多少？一公里等于多少米？这个问题一般学生都知道，为什么不知道一平方公里等于多少平方米？
我认为主要原因是:
我对“方”的理解不到位。只知道有方这个词，不知道字面意思。我们需要视觉理解，然后逻辑推理。数学应该多这样学习。
