整个数学发展史一共诞生了三次数学史，可谓是环环相扣，毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了无理数，直接对一切数均可表成整数或整数之比的思想观念造成了冲击，在长达 2000 年的时间里，数学家都刻意回避无理数存在的事实。
而牛顿在创造微积分的时候，则引发了第二次数学危机，牛顿对于导数的定义并不太严密，比如说
x2 的导数,先将 x 取一个不为0的增量 Δx ,由 (x + Δx)^2 - x^2 ,得到 2xΔx + (Δx) ^2,后再被 Δx
除,得到 2x + Δx ,最后突然令 Δx = 0 ,求得导数为 2x
。我们知道这个结果是正确的，但是推导过程确实存在着明显的偷换假设的错误：在论证的前一部分假设Δx是不为0的，而在论证的后一部分又被取为0。那么到底是不是0呢？
除此之外，牛顿微积分把“无穷小量看作不为零的有限量而从等式两端消去，而有时却又令无穷小量为零而忽略不计”的漏洞引发了一个这样的问题：就无穷小量在当时实际应用而言,它必须既是0,又不是0.但从形式逻辑而言,这无疑是一个矛盾。牛顿后来也未能自圆其说。
两大数学危机的实质其实都是因为实数体系的不完善所导致的。所以魏尔斯特拉斯等人发起了“分析算术化”运动。
魏尔斯特拉斯认为实数是全部分析的本源。要使分析严格化，首先就要使实数系本身严格化。为此最可靠的办法是按照严密的推理将实数归结为整数(有理数)。这样，分析的所有概念便可由整数导出，使以往的漏洞和缺陷都能得以填补。这就是所谓“分析算术化”纲领。
在魏尔斯特拉斯“分析算术化”运动的引领下，戴德金、康托尔包括魏尔斯特拉斯都提出了自己的实数理论。
1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，他将一切有理数的集合划分为两个非空且不相交的子集A和A'，使得集合A中的每一个元素小于集合A'中的每一个元素。集合A称为划分的下组，集合A'称为划分的上组，并将这种划分记成A|A'。戴德金把这个划分定义为有理数的一个分割，在这里面，戴德金从有理数扩展到实数，建立起无理数理论及连续性的纯算术的定义。
戴德金分割定理推算过程
康托尔也通过有理数序列理论完成了同一目标，康托尔和戴德金都是将实数定义为有理数的某些类型的“集合”。戴德金方法可以称为序完备化方法，康托尔方法可以称为度量完备化方法。这些方法在近现代数学中都已成为典型的构造方法，被后人不断推广发展成为数学理论中的有力工具。
康托尔的有理数序列理论
维尔斯特拉斯发表了有界单调序列理论，有理数基本列是先假定实数的完备性，再根据有理数列的极限来定义有理数无理数。有很多有理数列，他们自己是基本列，但在有理数系内没有极限，所以有了定义：如果一基本列收敛到有理数时，则称它为有理基本列；如果一基本列不收敛到任何有理数或者收敛空了时，则称它为无理基本列。有理基本列定义的是有理数，无理基本列定义的是无理数。
有界单调序列理论求证过程
实数的这三大派理论证明了实数系的完备性。实数的定义及其完备性的确立标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。这样长期以来围绕着实数概念的逻辑循环得以彻底消除，实数体系的建立也标志着代数彻底摆脱几何的阴霾。
因为实数体系的建立，数学界甚至整个科学界笼罩在一片喜悦祥和的气氛之中，科学家们普遍认为，数学的系统性和严密性已经达到，科学大厦已经基本建成，然而这话却却最终惨遭打脸。
魏尔斯特拉斯“分析算术化”运动虽然一次性地解决了数学史两大危机，但是却也引发了第三次数学危机，这场数学危机持续至今，让整个数学大厦岌岌可危。
在此次运动中，1873年11月29日康托尔在给戴德金的一封信中表示，终于把导致集合论产生的问题明确地提了出来：正整数的集合（n）与实数的集合（x）之间能否把它们一一对应起来。同年12月7日，康托尔写信给戴德金，说他已能成功地证明实数的“集体”是不可数的，也就是不能同正整数的“集体”一一对应起来。这一天应该看成是集合论的诞生日。
简单的集合知识
康托尔创立的集合论可以说是数学的一个基本的分支学科，研究对象是一般集合。集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。集合论或集论是研究集合（由一堆抽象物件构成的整体）的数学理论，包含了集合、元素和成员关系等最基本的数学概念。简单的集合知识我们在高中的时候就已经接触，大家可以简单回忆一下。
集合论是从一个物件o和集合A之间的二元关系开始：若o是A的元素，可表示为o∈A。由于集合也是一个物件，因此上述关系也可以用在集合和集合的关系。另外一种二个集合之间的关系，称为包含关系。若集合A中的所有元素都是集合B中的元素，则称集合A为B的子集，符号为A?B。例如{1,2}
是{1,2,3} 的子集，但{1,4} 就不是{1,2,3}
的子集。依照定义，任一个集合也是本身的子集，不考虑本身的子集称为真子集。集合A为集合B的真子集当且仅当集合A为集合B的子集，且集合B不是集合A的子集。
数的算术中有许多一元及二元运算，集合论也有许多针对集合的一元及二元运算。
而集合论中元素也有三大特性：确定性、互异性、无序性。首先集合中的元素必须是确定的，例如{我们公司帅的男生}这就不是一个集合,因为帅的定义不同,有些人认为威猛是帅，有些人认为柔弱是帅，所以元素不确定；集合中的元素必须是互不相同的
，例如{5,6}是一个集合,但是不能表示为{5,6,5}，这就是互异性；{1,2,4}和{4,2,1}是同一个集合，这就是集合的无序性，因为集合中的元素是不存在顺序的。
康托尔
数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。
1900年国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“……借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”。这一发现使数学家们为之陶醉。
可惜才过了 3 年，也就是 1903 年的时候，罗素却发现了集合论存在的问题，罗素是西方罕见的文理兼修的全才，是著名的英国哲学家、数学家、逻辑学家、历史学家、文学家。他曾和哥廷根学派的领袖希尔伯特围绕数学的哲学基础问题引发了一场“数学是什么”的论战。
罗素认为“数学即逻辑”，而希尔伯特则提出了形式主义的主张，主张数学思维的对象就是数学符号本身。两个人涉及的论战就包含了集合论。
罗素从集合元素的三大特性中发现了康托尔集合论中的一个BUG。集合S是由一切不属于自身的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果s属于S，根据S的定义，s就不属于S；反之，如果s不属于S，同样根据定义，s就属于S。无论如何都是矛盾的。
而罗素悖论的大白话版本也就是著名的理发师悖论：在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
这就是数学史赫赫有名的“一个理发师冲进了大厦，把整个大厦搞了个天翻地覆，甚至直接动摇了整个数学大厦的地基。而至今为止，也依然没有人把这个理发师请出去”事件。
如果是第一次、第二次数学危机仅仅影响的是整个数学大厦的建造问题，那么第三次数学大厦直接动摇的是整个地基，因为涉及的是数学基础问题。
因为罗素悖论只涉及最基本的集合论概念：集合，元素，属于和概括原则，它的构成十分清楚明白。这个悖论的出现说明以往的朴素集合论中包含矛盾，因而以集合论为基础的整个数学就不能没有矛盾。这个悖论也同时说明数学中采用的逻辑也不是没有问题的。数学上的第三次危机使数学界和逻辑学界都感到问题的严重性。
由此引发的许多悖论
罗素悖论表明不能无条件承认概括原则，然而概括原则的改变将使集合论大为改观，因此对整个数学的影响是巨大的。简单来说，承认无穷集合，承认无穷基数，看起来悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。这就是问题的矛盾所在。
罗素的问题直接让许多的数学家的一辈子工作都毁于一旦，德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了”。这的确让人倍感无奈，即使我们对于逻辑的数学化建设耗费了如此巨大的精力，我们得出的很多结论仍然不是严密的，可能会有漏洞。
当然了，修补工作也在轰轰烈烈地进行，如果要解决这次危机就必须要建立一个一套更加严密的解决办法才能将这些矛盾统一在一起。
最有名的就是策梅洛-弗兰克尔公理系统。在1908
年，恩斯特·策梅洛提议了第一个公理化集合论——策梅洛集合论。这个公理化理论不允许构造序数；而多数“普通数学”不使用序数就被不能被开发，序数在多数集合论研究中是根本工具。此外，策梅洛的一个公理涉及“明确性”性质的概念，它的操作性意义是有歧义的。
所以后来通过弗兰克尔的改进后被称为策梅洛-弗兰克尔公理系统。在该公理系统中，由于分类公理：P(x)是x的一个性质，对任意已知集合A，存在一个集合B使得对所有元素x∈B当且仅当x∈A且P(x)；因此{x∣x是一个集合}并不能在该系统中写成一个集合，由于它并不是任何已知集合的子集；并且通过该公理，存在集合A={x∣x是一个集合}在ZF系统中能被证明是矛盾的。
总而言之，就是策梅洛-弗兰克尔公理系统严格规定了一个集合存在的条件（简单地说，存在一个空集【空集公理】；每个集合存在幂集【幂集公理】；每个集合里所有的集合取并也形成集合【并集公理】；每个集合的满足某条件的元素构成子集【子集公理】；一个”定义域“为A的”函数“存在“值域”【替换公理】等），这样无法定义出悖论中的集合。因此罗素悖论在该系统中被避免了。
但是它并没有从数学的整个基本结构的有效性问题上解决问题，从而从数学的基础性上对整个数学大厦进行修补，数学基础和数理逻辑的许多重要课题还未能从根本上得到解决，所以还存在一定的缺陷，100多年过去了，危机还在持续，数学大厦的地基什么时候才能被夯实，如今看来，还有很远的路要走。
不过，第三次数学危机对整个数学界的发展无疑是起到了巨大的推动作用的，促进了数学基础理论的研究，促进了哥德尔不完全性定理的诞生，也推动了数理逻辑的发展，可以说每次危机的产生就像是一个聚宝盆的诞生，为数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革。
一、第一次数学危机
从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。
他们认为，“万物皆数”（指整数），数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。
整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。
为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。
二、第二次数学危机
十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机。从历史或逻辑的观点来看，它的发生也带有必然性。
三、第三次数学危机
数学基础的第三次危机是由1897年的突然冲击而出现的，从整体上看到现在还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。
由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论已经成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。
数学发展史上的三次危机1.毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2
的诞生。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。由两千多年后的数学家们建立的实数理论才消除它。
2.第二次数学危机导源于微积分工具的使用。贝克莱一针见血地指出牛顿在对x^n(n是正整数)求导时既把△x不当做0看而又把△x当作0看是一个严重的自相矛盾，从而几乎使微积分停滞不前，后来还是柯西和魏尔斯特拉斯等人提出无穷小是一个无限向0靠近，但是永远不等于0的变量，这才把微积分重新稳固地建立在严格的极限理论基础上，从而消灭的这次数学危机！
3.十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。
罗素构造了一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。
可以说，这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。
危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。比如ZF公理系统。这一问题的解决只现在还在进行中。罗素悖论的根源在于集合论里没有对集合的限制，以至于让罗素能构造一切集合的集合这样“过大”的集合，对集合的构造的限制至今仍然是数学界里一个巨大的难题！
