上确界是一个集合的最小上界。下确界是与上确界相对偶的概念，指的是一个集合的最大下界。
在一般的数学分析学教材中，实数理论一章，为了说明实数的紧性，有一系列的定理，理论比较严密的前苏联教材一般是以戴德金分割定理为出发点证明其它的等价定理。而我国教材为了简化，很多都是从确界定理为出发点进行的证明，其他说明实数的连续性的定理还有区间套定理，有限覆盖定理等等。
确界定理是实数理论中最基本的结论之一，是实数集紧性的体现。定理：任何有上界(下界）的非空实数集必存在上确界（下确界）。
1、上确界的定义：首先上确界一定是一个上界，在上界的基础上进一步缩小，直到不是上界为止，这个临界点就是上确界，也就是说上确界是一个最小上界。
2、下确界的定义：同理可得下确界是E的一个最大下界，只要这个下确界稍微一大点，就不是下界了。集合中就可以找到一个元素小于它。由此引出一个十分重要的定理：确界原理，这是实数连续性的一种表现形式。
