可以肯定的是，古代私塾是不教数学、物理、化学的。在古代，对于官方来说并不是什么高尚的工作，与数字相关的天文历法也没有民间传授的道理。天文历法与代天的牧民的君主统治权力的合法性有很大关系。这是人民无法解释的。禁止在民间研究天文历法。最早时期有世袭家族，即使后来不再采用世袭制，由官方专门机构承担职责。我觉得提问者主要是想问古代工程技术的传承问题。
很久以前就有官方组织，在周朝就设立了专门的部门——东关，管理所有的工人。具体从业者多为奴隶、太监之类。
西汉《考公基》记载了春秋战国时期的工程技术。
“州里有六个工作，一百个工作，一个住处。”后来奴隶少了，也是区别于老百姓的特殊户籍。一般都是代代相传，他们干活不容易。
历代以来，官名略有变化。北周时，又称为冬官。它的职责之一，
随着社会的发展，技术越来越复杂，负责工程的机构越来越大，员工数量也逐渐增多。
技术传承，既有官方机构，又有记录，教育培训自然有责任。
传承民间春秋时期，已有民间工匠的记载，
一百个工人住在一个商店里，为了让它发生
可见民间工匠的存在由来已久。
比如汉初，汉文帝放开了私铸。在利益的驱使下，大量开采铜矿，造币业在民间蓬勃发展。直到后来民间造币被禁，依然屡禁不止。
前几年鉴宝展很火爆，很多古董都不是官方的。有很多私窑的精品瓷器，可见民间手工业之发达。木制家具大多由民间艺人制作。
但战争时期工匠数量减少，政府会通过专属户籍进行管理，避免无法满足军事或建设需要的技术人员流失。
说起宗教对科技发展的贡献，火药的发明非常有名。
原来炼金术是炼金术士掌握的。到南北朝时，道教已经成熟，形成了但丁教。虽然没有研制出长生不老药，但在化学反应和药物方面进行了初步探索。炼丹术，自然是秘术但不是秘术，有严格的师徒传承。但也有《周易参同契》等指导性书籍，风靡全球。
据说我们的创始人傅发明了捕鸟网，还发明了风筝。大禹是最早成功的水利工程管理者。傅说是最著名的建筑工人。作为一名木匠，鲁班受到了齐王的款待。西汉初年，贾谊的老师张苍出任宰相，修订了《九章算术》，是最高级别的数学家。
看，好像古代技术人员也有职位，这是误解了。除鲁班外，上述著名人物主要从事的都不是技术，基于个人爱好，也算是有技术专长的管理人才。鲁班之所以能成为诸侯的座上宾，是因为他能提供一种当时很紧缺的技能——设计武器。一开始具体的从业者都是由奴隶来担任，后期工匠的地位仍然不高。韩愈老师说里面有一句话足以说明，
巫术乐师是勤劳的人，君子鄙视他们。时至今日，他们的智慧已是遥不可及，奇怪又尴尬！
虽然工匠的官方地位不高，但工匠在民间还是有一定地位的。比如木匠、泥瓦匠都有严格的学徒，基本都是传给亲戚或者直系后代。
可见中国的技术传承非常狭窄，一旦没有聪明的弟子，很容易造成技术流失。这也是制约其发展的重要原因。
