复合函数通俗地说就是函数套函数，是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数。复合函数中不一定只含有两个函数，有时可能有两个以上，如y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)，则函数y=f{φ[ψ(x)]}是x的复合函数，u、v都是中间变量。
1、复合函数求导的前提：复合函数本身及所含函数都可导。
法则1：设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)g'(x)；
法则2：设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)p'(u)g'(x)；
2、应用举例求：函数f(x)=(3x+2)3+3的导数。
解：设u=g(x)=3x+2
f(u)=u3+3
f'(u)=3u2=3(3x+2)2
g'(x)=3
f'(x)=f'(u)g'(x)=3(3x+2)23=9(3x+2)2
扩展资料
复合函数的推广
可以推广到任意二元关系。若 R ⊆ X × Y 与 S ⊆ Y × Z 是两个二元关系，则它们的复合 S∘R 是定义为 {(x, z) ∈ X × Z : ∃y ∈ Y (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ S}。 考虑二元关系的一个特殊情形（函数关系），复合函数满足关系复合的定义。
偏函数的复合可是用相同方式定义的定义，有一个类似凯莱定理（Cayley's theorem）的定理叫做Wagner-Preston定理。
具有态射函数的集合范畴叫做原型范畴（prototypical category）。范畴的公理实际上受到了复合函数的性质（和定义）启发。[16] 由复合形成的结构在范畴论中被公理化和推广，函数的概念换成了范畴论中的态射。公式 (f ∘ g)−1 = (g−1 ∘ f −1) 中的反序复合，同样适用于使用逆关系的关系复合，因此在群论中也适用。这些结构形成了dagger范畴。
参考资料来源：百度百科-复合函数
设y=f(u）的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx,如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量,u为中间变量，y为因变量（即函数）。
参考：>
基本初等函数
及
四则运算
以外的都是
复合函数
。
基本初等函数有：
幂函数
、
指数函数
、
对数函数
、
三角函数
和
反三角函数
五类。
#
一次函数
y=kx+b的复合过程
y=u+v，u=kx。
所以复合函数并不神秘。
设y=f(μ),μ=φ(x),当x在μ=φ(x)的定义域Dφ中变化时，μ=φ(x)的值在y=f(μ)的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量μ形成的一种函数关系，记为
y=f(μ)=f[φ(x)]称为复合函数，其中x称为自变量，μ为中间变量，y为因变量(即函数)
复合函数的性质：周期性和增减性。
判断复合函数的单调性的步骤如下：
1、求复合函数定义域。
2、将复合函数分解为若干个常见函数，如：一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数。
3、判断每个常见函数的单调性。
4、将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围。
5、求出复合函数的单调性。
复合函数就是指在x→y（映射）（其中x为自变量，y为应变量）的条件下，把y当作自变量，z为应变量，y→z（映射），对应的关系式是y=f（x），z=f（y）=f（f（x））就组成了简单复合函数，复杂复合函数原理是一样的。其中复合函数表现的最突出的是换元法，将一个函数的值域转化成定义域，带入相应的函数中，求值域，根据原假设求自变量（“元”）的定义域。f（x）与f（t）就是应变量与自变量之间的角色互换。
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