在方程变形时,可能产生不适合原方程的根,这叫做方程的增根如果一个分式方程的根能使此方程的公分母为零,那么这个根就是原方程的增根
追问：增根x=2是什么意思？
追答：意思是2这个跟带入方程，会使方程的分母为0，这个跟没有意义，需要舍去
定义 增根（extraneous root），在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0，（根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0）那么这个根叫做原分式方程的增根。编辑本段产生来源对于分式方程，当分式中分母的值为零时，分式方程无意义，所以分式方程不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。（1）分式方程 增根举例（2）无理方程（3）非函数方程编辑本段分式介绍简介在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0，（根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0）那么这个根叫做原分式方程的增根。举例x/（x-2)-2/(x-2)=0解：去分母，x-2=0x=2但是X=2使分母等于0（无意义）,所以X=2是增根。分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整公分母的值不为0，则此解是分式方程的解，若最简公分母的值为0，则此解是增根。例如设方程 A(x)=0 是由方程 B(x)=0 变形得来的,如果这两个方程的根完全相同(包括重数),那么称这两个方程等价如果 x=a 是方程 A(x)=0 的根但不是B(x)=0 的根,称 x=a 是方程的增根;如果x=b 是方程B(x)=0 的根但不是A(x)=0 的根,称x=b 是方程B(x)=0 的失根。编辑本段非函数在两非函数方程（如圆锥曲线）联立求解的过程中，增根的出现主要表现在定义域的变化上。例如：若已知椭圆(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b>0)，O为原点坐标，A为椭圆右顶点，若椭圆上存在一点P，使OP⊥PA，求椭圆的圆心率的范围。存在一种解法：椭圆上存在一点P，使OP⊥PA，即是以OA为直径画圆，要求与椭圆有除了A(a,0)以外的另外一个解。所以联立椭圆和圆的方程：(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(x-a/2)^2+y^2=(a/2)^2→x^2+y^2-ax=0→b^2·x^2+a^2(ax-x^2)-a^2·b^2=0 （）因为有两个根，所以△>0∴△=(2b^2-a^2)>0∴e≠（1/2）^(1/2) （二分之根号二）而正解却是由（）得 x1=a x2=a·b^2/c^2∴0<x2<a∴（1/2）^(1/2)<e<1然而问题出在，无论怎么取，只要e≠(1/2）^(1/2)，好像△永远都>0于是我们取e=1/2假设 a^2=4 b^2=3 c^2=1即可得椭圆(x^2)/4+(y^2)/3=1···①与圆x^2+y^2-2x=0···②联立即可得 x^2-8x+12=0 ···()有十字相乘 x1=2 x2=6显然 此时 x2=6是增根将x2=6 带入①式 y^2= -24将x2=6 带入②式 y^2= -24将x2=6 带入()式 y^2=2x-x^2= -24可知这里的的确确是产生了一个增根，而且在解题过程中不能通过任何方式排除，这说明多个非函数方程联立求解时，方程本身无法限制x的取值。一般来说，直线与圆锥曲线的联立并没有出现过算出两个解，还需要带回去验根的情况，大概是因为圆锥曲线不是函数，而直线是函数的原因。不过值得注意的是：①不是任何的两个非函数方程联立都会产生增根。例如圆不是函数，但求两个圆的交点，不会产生增根。②增根的产生和定义域有关系，但没有绝对的关系。不能说联立方程时，将x定义域扩大或缩小就必然会引起增根。如上述例题中，①式定义域（-2，2） ②式定义域（0，2）大多数人是在②式中，用x表示y，写成y=ax-x^2，再带入①式，产生了增根。但是如果我们在①式中用x表示y，写成y^2=b^2(1-x^2/a^2)，再带入②式，我们依然会得到增根。下面列出两种必然会出现增根的一般式：①椭圆与抛物线椭圆(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b>0)和抛物线y^2=2px(p>0)联立方程式得b^2·x^2+a^2(2px)-a^2·b^2=0由韦达定理得 x1·x2=(-a^2·b^2)/b^2=-a^2<0 且 x1+x2=-2a^2·p/b^2<0可知，若x1>0，则x2<0，出现原因是忽略了y^2=2px(p>0)中的隐含定义域x>0。联立方程式求解误认为x∈R 。（另外我们还知道|x1|<|x2|）②双曲线与抛物线双曲线(x^2)/a^2-(y^2)/b^2=1(a,b>0)和抛物线y^2=2px(p>0)联立方程式得b^2·x^2-a^2(2px)-a^2·b^2=0由韦达定理得 x1·x2=(-a^2·b^2)/b^2=-a^2<0 且 x1+x2=2a^2·p/b^2>0可知，若x1>0，则x2<0，出现原因是忽略了y^2=2px(p>0)中的隐含定义域x>0。联立方程式求解误认为x∈R 。（另外我们还知道|x1|>|x2|）编辑本段无理数√ （2X^2-X-12）=X解：两边平方得2X^2-X-12=X^2得X^2-X-12=0得X=4或X=-3(增根）出现增根的原因是由于两边平方忽略了上式的X>0且根号内的值大于等于0由于同样的粗心，错误还会在无理不等式中体现。编辑本段解法解分式方程时什么根，往往是由于违反了方程的同解原理或对方程变形时粗心大意造成的。1 如果不遵从同解原理，即使解整式方程也可能出现增根．例如将方程x－2=0的两边都乘x，变形成x（x－2）=0，方程两边所乘的最简公分母，看其是否为0，是0即为增根。还可以把x代入最简公分母也可。增根的不可忽视性许多人解方程时，得到了增根，比如说能量是负值，一般的人都会将这个忽视掉，但这些值是挺令人寻味的。著名的物理学家狄拉克利用相对论、量子力学寻找粒子的能量时，他发现某个粒子的能量和其动量紧密相关，即E2=p2+m2（p为动量，m为粒子的质量），解得E=±（p2+m2）^½,你肯定想保留正根，因为你知道能量不会是负值，但数学家们告诉狄拉克，你不能忽略负值，因为数学告诉我有两个根，你不能随便丢掉。后来事实证明，第二个根，也就是为负的那个根，正是理论的关键：世界上既有粒子，也有反粒子。负能量就是用来解释反粒子的。
增根:
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。
如果一个分式方程的根能使此方程的公分母为零,那么这个根就是原方程的增根。
增根的产生的原因：
对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。
分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整式方程，这时未知数的允许值扩大，因此解分式方程容易发生増根。
增根表示符合整式方程但不符合分式方程的解，而无解则表示方程没有解。
例：(x-1)/(x-2)=1,方程无解。
（x-1)/(x^2-1)=0,去分母后化成x-1=0,解得x=1
但当x=1时，会使分式中的分母为0，所以x=1是方程的增根
清楚了吧！
你应该知道^是什么意思吧，
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。
如果一个分式方程的根能使此方程的公分母为零,那麽这个根就是原方程的增根。
将求出的值代入原方程,分式化整式后解出来分母是0 ,那这个根就是增根
无解:看这个方程 x^2+x+1=0这个方程叫做无解~~
PS:还值得注意的是,"根"只是对一元方程而言的多元方程就不能叫"根"了,应该叫"解"
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根．因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程必须检验．为了简便，通常把求得的根代入变形时所乘的整式(最简公分母)，看它的值是否为0，使这个整式为0的根是原方程的增根，必须舍去．
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。
如果一个分式方程的根能使此方程的公分母为零,那么这个根就是原方程的增根。
增根的产生的原因：
对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。简单来说，就是不符合原方程的根。
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