什么是重数(代数重数与几何重数)复数的概念为什么虚数数轴和实数数轴上都有0

代数重数指的是方程的根的重数

集合重数指的是几何图形在该点的重数

比如，(x-1)^10=0,这个方程的根为x=1，这个根是10重的，因此x=1的代数重数为10

比如，一条直线与一个圆相切，那么切点的几何重数就是二，如果三条直线相交在一点，那么交点的几何重数就是三

复数是指形如a+ib这种形式的数，其中a，b是实数，i是虚数单位，i^2=-1

复数是对实数的扩展，就好象实数是对有理数的扩展一样，实数扩展为复数后，就解决了多项式函数求根问题

虚数轴与实数轴的交点为0点，因此虚数数轴和实数数轴上都有0，虚数轴实数轴是复平面的两个坐标轴

矩阵能够相似对角化的充要条件是代数重数等于几何重数

实二次型的矩阵应该是实对称矩阵，实对称矩阵一定能够正交相似对角化，从而一定能够合同对角化或者说实二次型一定能够化为标准形

方阵a的每一个几何重数与其代数重数相等当且仅当a相似于对角矩阵，而实的对称矩阵显然可以通过正交矩阵相似于一个对角阵，因而实对称矩阵特征值的几何重数等于代数重数。

特征值对应的Jordan块全为一阶的时候几何重数与代数重数相等。Jordan块大于等于二阶时几何重数小于代数重数。

Jordan块的形式是上双三角阵，主对角元都是相同的特征值，次对角元都是1

任何方阵都相似于由Jordan块为对角元的块对角阵，称为方阵的Jordan标准型。

具体请参看方阵的Jordan标准型

您的问题是：几何重数不等于零吗？

答案是：不等于零。几何重数是指一个几何体中每个面的质量，它是一个实数，它的值可以大于或小于零。如果一个几何体的每个面的质量都是零，那么它的几何重数就等于零。

不要总想的这么远，

代数重数是特征值λ作为特征方程的根的重数，就是矩阵的jordan形中与λ有关的jordan块的阶数之和。

代数重数是λ的特征子空间的维数，就是与λ有关的jordan块的个数之和。

立即就有代数重数大于等于几何重数的结论。还可以推出矩阵相似与对角形矩阵的条件。

这道题在不同的阶段可以有不同的方法

如果学了Jordan标准型和矩阵的最小多项式,可以用:

矩阵可对角化的充要条件是其最小多项式无重根(即Jordan块都是1阶的)

由A²-A = 2E,知x²-x-2 = (x-2)(x+1)是A的一个化零多项式

注意到该多项式没有重根,而最小多项式必为化零多项式的因式,可知A的最小多项式没有重根

因此A可对角化

如果是没学Jordan标准型,可以用:

矩阵可对角化的充要条件是其任意特征值的几何重数 = 代数重数

这里特征值λ的几何重数是指AX = λX的解空间维数,

代数重数是指其作为A的特征多项式的根的重数(可证明几何重数 ≤ 代数重数)

因为属于不同特征值的特征向量线性无关,上述条件等价于可以找到n个线性无关的特征向量

由A²-A = 2E,知(A+E)(A-2E) = 0

于是r(A+E)+r(A-2E)-n ≤ r((A+E)(A-2E)) = 0,即r(A+E)+r(A-2E) ≤ n

-1作为A的特征值的几何重数 = n-r(A+E),而2的几何重数 = n-r(A-2E)

于是由n ≥ -1的代数重数+2的代数重数

≥ -1的几何重数+2的几何重数

= n-r(A+E)+n-r(A-2E)

≥ n,

可知A没有-1,2以外的特征值,且-1和2的几何重数 = 代数重数,因此A可对角化,4,原式可化为05A（A-E）=E，所以对于A，存在A^-1=A-E,满足AA^-1=E，同理A^-1A=E，所以A可逆，所以A可对角化,1,

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