椭圆的点法式方程

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如果直线过一定点(x0,y0),且直线的一个法向量为：n=(a,b)

则直线的点法式方程为：a(x-x0)+b(y-y0)=0

直线的一个方向向量为：s=(2,-1),容易求得直线的一个法向量：n=(1,2)

且直线过点(0,-2),故直线的点法式方程为：x+2(y+2)=0

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曲线3x^2+4y^2=12,即：x^2/4+y^2/3=1,为椭圆,其参数方程为：x=2cosa,y=sqrt(3)sina

椭圆上的点到直线x-y-10的距离：L=|2cosa-sqrt(3)sina-10|/sqrt(2)

=sqrt(7)|sqrt(3)sina/sqrt(7)-2cosa/sqrt(7)+10/sqrt(7)|/sqrt(2)

=sqrt(7)|sin(a-t)+10/sqrt(7)|/sqrt(2),当：sin(a-t)=1时,L取得最大值：(sqrt(14)+10sqrt(2))/2

已知两点和一个向量都在同一个平面上，两点可以组成一个向量。这两点组成的向量能求出来，同时还已知直线的方向向量，所以通过求法线就可以得到平面方程。

已知点和直线求平面方程

任取直线上一点，与直线外已知点构成向量，显然该向量位于平面内；

然后根据直线方程得到直线方向向量，同理这一直线方向向量亦位于平面内。将两向量叉积就能得到垂直于待求平面的法向量，最后根据法向量和任一点坐标写出平面的点法式方程。

如果不能直接看出直线的方向向量，可以在直线上再选一点，构成的向量就是直线的方向向量。

平面方程类型

一、截距式

设平面方程为Ax+By+Cz+D=0，若D不等于0，取a=-D/A，b=-D/B，c=-D/C，则得平面的截距式方程：x/a+y/b+z/c=1。

它与三坐标轴的交点分别为P(a，0，0)，Q(0，b，0)，R(0，0，c)，其中，a，b，c依次称为该平面在x，y，z轴上的截距。

二、点法式

n为平面的法向量，n=(A，B，C)，M，M'为平面上任意两点，则有n·MM'=0，MM'=(x-x0，y-y0，z-z0)，从而得平面的点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0。

三点求平面可以取向量积为法线。

任一三元一次方程的图形总是一个平面，其中x，y，z的系数就是该平面的一个法向量的坐标。

两平面互相垂直相当于A1A2+B1B2+C1C2=0。

两平面平行或重合相当于A1/A2=B1/B2=C1/C2。

点到平面的距离=abs(Ax0+By0+Cz0+D)/sqrt(A^2+B^2+C^2)。求解过程：面内外两点连线在法向量上的映射Prj(小n)(带箭头P1P0)=数量积。

三、一般式

Ax+By+Cz+D=0，其中A，B，C，D为已知常数，并且A，B，C不同时为零。

四、法线式

xcosα+ycosβ+zcosγ=p，其中cosα、cosβ、cosγ是平面法矢量的方向余弦，p为原点到平面的距离。

由题意直线3x+4y-1=0的一个法向量n=(3,4),则直线的一个方向向量v=(4,-3)

又知点(-1,1)在直线3x+4y-1=0上,

所以直线3x+4y-1=0的点向式方程可写为：-3(x+1)-4(y-1)=0；

点法式方程可写为：3(x+1)+4(y-1)=0

将平面方程由一般式转化为截距式

举例

一、点法式：一般形式为A(x-a)+B(y-b)+C(z-c)，其中(A,B,C)为其平面的法向量，(a,b,c),为平面所经过的一点。

由于平面经过的点为无数，所以次方程的点法式不唯一。

令次方程x=0，则有-4y+z-5=-4(y+1)+z-1=0，所以化成的点法式可以表示为3x-4(y+1)+z-1=0。

二、截距式：一般形式为x/a+y/b+z/c=1，其中a,b,c是平面在x轴、y轴、z轴的截距。

因为3x-4y+z-5=0，则3x-4y+z=5，两边同时除以5得到截距式为3x/5-4y/5+z/5=1。

它在x轴、y轴、z轴的截距分别是5/3,-5/4和5。

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