什么叫重心性质是如何得出来的

(1)三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心”．“三角形重心到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍．”

(2)三条中线将三角形分成六个小块,六个小块面积相等,也就是说重心和三顶点的连线,将三角形的面积三等分[证明: 用等底等高的三角形面积相等高2倍底一倍的三角形面积等于高一倍底2倍的三角形面积]

(3)材质均匀的三角形物体,他的重心就在几何重心上也就是说,你可以从重心穿过一条线,手提这条线,而三角形物体保持水平

三角形重心性质：

1、三角形重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、三角形的重心和三个顶点组成的三个三角形面积相等，即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、三角形的重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

4、以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。

三角形的五心定理

①重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。

②外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。

③垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。

④内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。

⑤旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。

重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。

重心的几条性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为(X1+X2+X3/3,Y1+Y2+Y3/3)。

重心的性质及证明方法1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。三角形abc，e、f是ab，ac的中点。ec、fb交于g。过e作eh平行bf。ae=be推出ah=hf=1/2afaf=cf推出hf=1/2cf推出eg=1/2cg2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。证明方法：在▲abc内，三边为a，b，c，点o是该三角形的重心，aoa1、bob1、coc1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，oa1=1/3aa1，ob1=1/3bb1，oc1=1/3cc1过o，a分别作a边上高h1，h可知h1=1/3h

则，s(▲boc)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3s(▲abc)；同理可证s(▲aoc)=1/3s(▲abc)，s(▲aob)=1/3s(▲abc)

所以，s(▲boc)=s(▲aoc)=s(▲aob)3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。

(等边三角形）证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)

平面上任意一点为（x，y）

则该点到三顶点距离平方和为：

(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2=3(x-1/3(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2最终得出结论。4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(x1+x2+x3)/3

纵坐标：(y1+y2+y3)/3

竖坐标：（z1+z2+z3）/35、三角形内到三边距离之积最大的点。

重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。 重心的几条性质: 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为(X1+X2+X3/3,Y1+Y2+Y3/3)。

重心是三角形三边中线的交点。

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

证明：三角形ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。

过E作EH平行BF。

AE=BE推出AH=HF=1/2AF

AF=CF

推出HF=1/2CF

推出EG=1/2CG

三角形的重心的性质有：

性质一、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

性质二、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

性质三、重心倒三角形3个顶点距离平方的和最小。

性质四、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。

性质五、三角形内到三边距离之积最大的点。

三角形重心是三角形三条中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。任意三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分。中线都把三角形分成面积相等的两个部分。

除此之外，任何其他通过中点的直线都不把三角形分成面积相等的两个部分。 几何中的中线（中点）常常是联系在一起的。因此遇到中点这样的条件（或关键词）我们可以考虑中线定理与中位线定理进行思考。

除了重心外，三角形还有外心、内心、垂心、旁心，合称为“五心”。 三角形“五心” 重心：三角形三条边的中线的交点。

垂心：三角形的三条高的交点。

外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点。

内心：三角形的三条内角平分线的交点。

旁心：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点；或三角形旁切圆的圆心。

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