谁能帮我详细讲讲孤立子解啊什么是双线性导数法

线性与非线性的重大区别是稳定性的区别；非线性科学的核心问题是“孤立子”与“混沌”；非线性科学的特点是交叉性和新型学科，其中交叉性是非线性科学的突出特点。如当今的科研热点——图象处理技术就集中体现了多学科的交叉。

非线性科学的核心问题之一“孤立子”，就其历史而言，可追溯到1834年英国力学家Russell在海边发现的孤立海波，随后荷兰数学家Korfeweg和Vries于1895年对其进行研究，并得到了现在著名的KDV方程，直到1965年，Krushal将它定义为孤立子，从而迎来了世界研究孤立子的高潮，尤其对它的特性、特征进行了深入的研究，并取得了突破性的进展。这期间最显著的应用是激光打靶与光纤通讯。前者解释了以前无法解释的一些物理现象，而后者则带来了通讯介质的革命。

做为非线性科学的核心问题，孤立子其有以下几个重大特征：一是孤立子解；二是Bachlund交换；三是无穷多守恒律；四是散射反演法。正是这些特点促使孤立子成为当今世界研究的热点问题。

归纳其最新的研究进展，其一是peah Solifon，如Camassu-Holm方程；其二是三维Eulv方程的可积。

摘自：郭柏灵院士《非线性科学》学术报告会

早期历史

最早讨论这个问题的是J·司各特·罗素。他给不列颠科学进展协会的

报告发表于1845年

关于波动

关于波动的报告。J·司各特·罗素绅士，文学硕士，爱丁堡皇家学会

会员，于1842和1843年会上所作

委员会会员

约翰·鲁宾逊爵士，爱丁堡皇家学会秘书

J·司各特·罗素绅士，爱丁堡皇家学会会员

我相信我还是最好用描述这一我第一次亲身与之相识的情况来介绍这个

现象。当时，我正在观看沿不宽的水道由两匹马牵引迅速向前的一只小

船的运动。当小船骤然停止时，水道中为小船所推动的一大堆水却并不

停止，水积聚在船头前面猛烈地激动着，然后水浪突然呈现出一个很大

的、孤立的凸起，那是一个滚圆而光滑、周界分明的水堆。它以巨大的

速度向前滚动，而将小船留在它后面。这一水堆沿着水道继续行进并没

有明显地改变其形状或降低其速度。我骑马紧跟，并追上了它，它仍保

持其原来的大约30英尺长、1英尺至1英尺半的高度的外形以大约每小时

8或9英里的速度滚滚向前。渐渐地它的高度下降。当我追赶一、二英里

后在水道的弯曲处它不见了。这样，在1834年的8月，这是我第一次有

机会见到这样一个独一无二的美丽的现象。这现象我称之为平移波，这

个名字现在已非常普遍地为人们所接受。这一现象自被我发现以来几乎

在每一流体阻力中都是一个重要的组成部分；而属于这类波的有海洋的

巨大的升举，它和行星的节律一起使我们的河流升涨并在我们的海岸上

滚动。

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此后司各特·罗素接着提出：他所遇到的孤立体实际上代表着流体力学

中范围很广的一类解。他首先称之为“平移波”，后来称为“孤立波”。

和冲击波不同，冲击波在波前处是奇异的，而“孤立波”是到处规则的

没有奇异性。孤立波是稳定的不会弥散的，因此它和任何由通常的平面

波解组成的波包是不同的。然而司各特·罗素并不能使他所有的同事们

都相信。如我们从图72（取自瑞利勋爵1876年的文章）中所看到的，

孤立波的问题在当时仍是在执领导地位的物理学家中间激烈争论的课题。

这一争论一直延续到1895年才得到解决，当时柯特维希和德弗雷1)根据

非线性流体力学方程——柯特维希和德弗雷方程的解（现在称之为孤立

子解）给出了全面的分析说明。然而，剩下的问题是，是否这种稳定的、

非奇异的和不弥散的解能在物理学流体力学以外的其他领域中出现。通

过五十年代初费米、巴斯塔和乌拉姆2)的工作，这一问题得到新的推进。

利用最大的计算机之一Maniac I，他们研究了64个谐振子的能量趋向均

匀分配的过程，在这些谐振子之间存在着某种很弱的非线性耦合。初始

时，所有的能量都集中在一个谐振子上。他们很惊异地发现，通常关于

怎样达到热平衡的概念是十分错误的。

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伦敦，爱丁堡和都伯林

哲学杂志和科学期刊

[第5集]

1876年4月

XXXII 关于波动 瑞利勋爵，文学硕士，皇家学会会员

……

孤立波

这是司各特·罗素为一种特殊的波起的名字。这种波他于1844年在不列

颠协会的报告中有所描述。

……

艾里(Airy)关于潮汐和波的论文可能仍是最有权威性的论说，他似乎在

孤立波中没有认识到有什么与众不同的东西。

……

另一方面史托克斯教授说：“罗素先生的意见即孤立波是一种特殊现象，

这决不是从波的产生的环境来推测的。”

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一如我们在图73中所见到的，经过大约一万次循环之后，其能量几乎

不变地完全回到初始的模式。总能量只有百分之几留给极少数的其他振

子。（这不是庞加莱循环，庞加莱循环要求有更长的持续时间。）这种

集体模式的发展是个普遍现象，可近似地用托达格点3)的孤立子解来表

示。孤立子解的重要的普遍特征是：即使非线性耦合非常弱，孤立子解

仍是存在的：

弱耦合≠弱振幅

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非线性问题的研究

E·费米，J·巴斯塔和S·乌拉姆 文献LA-1900（1955年5月）

摘要

在洛斯阿拉莫斯的计算机MANIACI上研究了一个由64个质点组成的一维

动力学系统。在邻近质点间含有非线性的力。考虑的非线性项有二次的，

三次的和破缺线性型。结果分解为傅里叶分量并作为时间的函数画出。

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此后就有大量关于孤立子的文章出现。1973年的斯科特，邱和麦克劳林4)

的评述性文章中列举了总共267篇参考文献。但是所有这些文章都只涉

及到经典的孤立子解，同时几乎都限于一维空间，而且只是对七种特殊

方程而言：柯特维希－德弗雷方程，赛因－戈登方程等。最近在这一领

域里有较大的进展，既有推广到三维空间的经典解，还在量子孤立子解

方面发展起一些一般的技术（至少在弱耦合下的玻色子场的情形）使得

对于每一种经典解，存在着一种相应的量子解。这些新的发展将是我们

讨论的主要部分。

1) D J Korteweg and G de Vries, Phil Mag 39, 422(1895)

2) Collected Papers of Enrico Fermi, general editor E Segre

(University of Chicago Press, 1965), Vol II, 978

3) M Toda, Progr Theor Phys Suppl 45, 174(1970)

4) A C Scott, F Y F Chu and D W Mclaughlin, Proc IEEE 61,

144(1973)

——粒子物理和场论简引 第七章 孤立子

李政道 著 阮同泽 汤拒非 译

科学出版社 1984年

站在世纪之交的门槛前，谁也不能漠视科学技术在这百年风云中带给人类的翻天覆地的变化。电子计算机横空出世，原子弹的蘑菇云笼罩在世人心头，人造地球卫星和航天飞机遨游太空，生物克隆技术引起全世界阵阵波澜。一百年的时间在漫漫人类历史长河中只不过是弹指一挥间，但科技在此期间的发展却远远超过过去两千多年间的总和，对人类的改变也达到了前所未有的程度。正如美国著名作家爱默生(R W Emerson)所言："现代科学所创造的奇迹远远超过古老神话传说中的奇迹。"令人瞩目的非线性科学在本世纪的兴起和迅速发展，更是从认识上解放了人类，打破了一扇机械决定论的天窗，使人们得以探索更复杂、更普遍、更高层次的"窗外"世界。在非线性科学领域中，有一朵美丽的"数学物理之花"，它同人们已熟悉的混沌、分形一起被认为是当今这一领域的三大前沿分支，这就是孤立子(soliton)。与混沌、分形一样，孤立子从被发现到理论的形成、发展及应用也是充满了许多趣话甚至传奇色彩，而且似乎更为曲折更为坎坷，更能给我们以深思和启示。

站在世纪之交的门槛前，谁也不能漠视科学技术在这百年风云中带给人类的翻天覆地的变化。电子计算机横空出世，原子弹的蘑菇云笼罩在世人心头，人造地球卫星和航天飞机遨游太空，生物克隆技术引起全世界阵阵波澜。一百年的时间在漫漫人类历史长河中只不过是弹指一挥间，但科技在此期间的发展却远远超过过去两千多年间的总和，对人类的改变也达到了前所未有的程度。正如美国著名作家爱默生(R W Emerson)所言："现代科学所创造的奇迹远远超过古老神话传说中的奇迹。"〔1〕令人瞩目的非线性科学在本世纪的兴起和迅速发展，更是从认识上解放了人类，打破了一扇机械决定论的天窗，使人们得以探索更复杂、更普遍、更高层次的"窗外"世界。在非线性科学领域中，有一朵美丽的"数学物理之花"，它同人们已熟悉的混沌、分形一起被认为是当今这一领域的三大前沿分支，这就是孤立子(soliton)。与混沌、分形一样，孤立子从被发现到理论的形成、发展及应用也是充满了许多趣话甚至传奇色彩，而且似乎更为曲折更为坎坷，更能给我们以深思和启示。

运河边的纪念碑·寂寞的孤立波

提到孤立子，就不能不介绍孤立波被发现的过程（孤立波是人们最早发现的具有孤立子性质的具体形态），不能不提及一个属于上世纪的人，他就是英国科学家、造船工程师约翰·斯科特·罗素（John Scott Russell）——孤立波的发现者。尽管孤立子理论的确立是本世纪五、六十年代的事，但孤立波的发现却应上溯到160多年前罗素偶然观察到的现象〔2〕，〔3〕，〔4〕，〔5〕。

1834年8月的一天，在苏格兰爱丁堡市（Edinburgh）的Union运河岸边，罗素骑着马正在观察一条船的运动，这条船由两匹马拉着，沿着狭窄的河道快速地前进。当船突然停下来时，罗素看到了一个奇妙的、不可思议的现象：河道中被推动的水团并未停止前进，而是聚集在船头周围剧烈地运动，然后，变成一个"滚圆光滑、轮廓分明的、巨大的、孤立耸起的水峰"。突然，这个水峰以很快的速度离开船头滚滚向前，沿着河道继续它的航程，丝毫没有减速停止的趋势。罗素敏锐地感觉到这不是寻常的水波，立即纵马跟踪观察。此时，水峰仍以每小时8～9英里的速度滚滚前进，同时保持其长约3英尺，高约1～15英尺的原始形状。直到他追逐了1～2英里之后，水峰高度才渐渐下降，最后，消失在迂回曲折的河道中。罗素被这一"奇特的" 、"美丽的"现象吸引住了，他注意到这个孤立的水峰与一般的水波截然不同，因为一般情况下的水波总是由一串具有周期性的波列组成，数学上可由一个熟知的波动方程描述，其解是周期性的波列。而且，通常的水波一部分在水面之上，一部分在水面之下，而这个水峰则是一个完整的全部位于水面之上的波，罗素认为这个水峰是流体力学的一个稳定解，并命名为"平移波"（wave of translation）,后来人们称之为"孤立波"（solitary wave）。孤立波既不同于普通的水面波，因为后者是要弥散的；也不同于波前有奇异性的冲击波，因为孤立波具有滚圆光滑的波形，即处处正则。

这一偶然发现久久萦绕在罗素的脑海中，他坚信自己发现了一个新的物理现象。十年后，即1844年9月，他在英国科学促进会第14次会议上以《论波动》为题向科学家们报告了他的发现，以期得到科学界的关注和共同研究。在这十年期间，罗素对孤立波的原理作过许多的努力和探索，从物理上作了一些大胆的假设。而且，他还从实验上研究了孤立波，于1844年在浅水槽中用多种方法激发，观察到了相同的孤立波现象。

然而，历史往往给人留下遗憾。罗素的想法并未得到当时科学界权威的承认。大多数人怀疑、反对孤立波的存在，并一度掀起了一场广泛而热烈的争论。例如，有的物理学家认为，孤立波的波幅逐渐减小就否定了它保持本身形状、能量不变的性质，对此，罗素的解释是由于摩擦阻力的作用。尽管这样，他仍无法从数学、物理上正确地解释、证明孤立波的存在和机理，从而埋怨当时的数学家未能从已知的流体力学运动方程预言出这一现象。"把吴钩看了，栏杆拍遍，无人会，登临意"，叹惜之余，四顾茫然，罗素生前最终没能使孤立波在科学上取得合法的地位。1982年，在罗素逝世一百周年之际，人们在他策马追逐孤立波的Union运河边树立了一座纪念碑〔5〕，以纪念这位寂寞的孤立波发现者，这也许是他生前所未能预料的。如果说，一个伟大科学家的标志是能够鉴别重要的新事物、新现象，而且这种新事物、新现象确实是关键的性质，那么罗素是名副其实的〔6〕。今天，几乎所有研究孤立子理论的各领域的专著中，都首先不无崇敬地提到这位孤立子理论的先驱。哲学家伏尔泰(F M A Voltaire)说过："率先沿着新道路行进的幸运者们，虽然只迈出几步，他们的名字却赢得崇高的荣誉。"〔1〕

罗素逝世后，在1895年，荷兰数学家D Korteweg和他的学生G de Vries研究了浅水波的的运动，在长波近似和小振幅假设下，建立了单向运动的浅水波运动方程，通过求解析解，得出了与罗素描述一致的，即具有形状不变的脉冲状的孤立波解，第一次从理论上证明了孤立波的存在。这一方程就是著名的KdV方程，也是今天最常见的研究孤立子解的模型之一。但是，孤立波是否稳定？两个孤立波碰撞后是否变形？这些问题仍没有解决，不少科学家对此持否定态度，认为孤立波"不稳定"，放弃了进一步的研究。孤立波又一次失去了人们的关注，处于长期的埋没之中，在寂寞中继续度过了前半个20世纪。

大浪淘沙·天下谁人不识君

"有时真理可能黯淡无光，但是任何时候也不会熄灭。"〔1〕孤立波的长期埋没、沉寂，并不意味着它已折戟沉沙。

本世纪五十年代，一个计算机数值实验开始改变孤立波的命运。美国的三位物理学家Enrico Fermi 、John Pasta和Stan Ulam于1952年开始，利用当时美国用来设计氢弹的Maniac Ⅰ号计算机，对由64个谐振子组成的、振子间存在微弱非线性相互作用的系统进行了数值计算实验，企图证实统计物理学中的"能量均分定理"。初始时刻这些谐振子的所有能量都集中在某一振子上，其它63个振子的初始能量为零。按照能量均分定理，只要非线性效应存在，就会有能量均分、各态历经等现象出现，即任何微弱的非线性相互作用都可导致由非平衡态向平衡态的过渡。但是，1955年的计算结果却使他们大吃一惊，因为经过几万次计算的长时间演化后，能量并没有均分到其它振子上去，而是出现了奇怪的"复归"现象：绝大部分能量又集中到原先那个初始能量不为零的谐振子上。经典的能量均分定理竟然没有得到证实。这就是著名的FPU问题，它与催生爱因斯坦相对论的迈克尔逊－莫雷（Michelson-Morley）实验一样，被认为是对传统科学的有力挑战〔2〕，〔6〕。

令人遗憾的是，Fermi等人当时只在频率空间考察这个实验，未能发现孤立波解，没有得到正确的解释，就这样与孤立子理论失之交臂。后来人们把晶体看成是具有质量的弹簧联接的链条，并近似模拟这种情况，Toda研究了这种模式的非线性振动，果然得到了孤立波解，使FPU问题得到了正确解答。

FPU问题的出现和解决，依赖于刚诞生不久的电子计算机技术，它第一次通过数值计算的手段向人们证实了孤立波的存在，从而进一步激起了人们对孤立波研究的兴趣。1962年，Perring和Skyrme将Sine-Gordan方程用于基本粒子的研究，他们的计算结果表明，这样的孤立波并不散开，即使两个孤立波碰撞后也仍保持原有的形状和速度。1965年，美国普林斯顿（Princeton）大学的两位数学家M D Kruskal和N Zabusky基于FPU问题，将实验中能量分布几乎回归的性质与孤立波奇特的相互作用性质联系起来， 用数值模拟方法详细地研究了等离子体中的孤立波碰撞的非线性相互作用过程，得到了比较完整和丰富的结果，进一步证实了孤立波在碰撞后其波形和速度保持不变的性质，这一结果彻底解除了人们此前对孤立波稳定性的怀疑。

Kruskal和Zabusky根据孤立波具有类似于粒子碰撞后不变的性质，正式命名为"孤立子（soliton）"。这是孤立波走出科学冷宫的重要里程碑。从孤立波的被发现到孤立子概念的正式提出，整整走过了130多年的漫漫历程，其中的坎坷、曲折在现代科学史上并不多见。至此，被人们誉为"数学物理之花"的孤立子终于洗刷了一个多世纪的蒙尘，经受了时间的考验，在科学的百花园中初显它美丽的花蕾。

孤立子概念的提出，开启了孤立子理论研究的新时代，各个领域的科学家们陆续对孤立子投入了巨大的热情和兴趣，迄今为止，已逐步形成了较为完整、系统的孤立子理论。今天，对于孤立子的定义，数学家们理解为非线性发展方程局部化的行波解，经过相互碰撞后，不改变波形和速度，但相位有可能改变。物理学家理解为非线性发展方程能量有限的解，即能量集中在空间的有限区域，并不随时间的增加而扩散到无限区域中〔5〕。

孤立子理论的初期研究主要集中在数学问题上。1967年，Gardner等发现了求解KdV方程的逆散射方法（IST）。随后，人们发现了至少数十种除KdV方程外具有孤立子解的非线性方程，而且发展了丰富多彩、行之有效的数学物理方法〔3〕，〔5〕，〔7〕。随着研究的深入，科学家们开始不满足从纯数学的形式来研究孤立子，企图在流体力学以外的领域寻找其它类型的孤立子。结果令人大为振奋，人们在不同的自然科学领域都发现了孤立子的存在。例如，科学家们发现，在生物大分子的蛋白质和DNA中存在各种类型的孤立子，这些孤立子担负着生命活动中不可缺少的重任：传递生物能量和生物信息，完成复制、遗传与转录功能等〔8〕。到目前为止，可以说孤立子现象无所不在：宇宙涡旋星系的密度波、海上冲击波、等离子体、分子系统、生物系统、光纤中光的传输、激光的传播、超导Josephson结、磁学、结构相变、液晶，都能找到孤立子神奇的身影〔4〕。孤立子这朵"数学物理之花"在大至宇宙的宇观世界、小至基本粒子的微观世界里显示出它奇妙的魅力，令越来越多的科学家倾心不已。

一位科学家说过："科学发展的全部历史证明，掌握自然现象任何新的领域永远会导致实际应用。这种实际应用往往是完全出乎意料的。"〔1〕对孤立子的发现也是这样，尽管孤立子看起来似乎只是数学上非线性方程的解或实验室里发现的现象，但人们很快找到了它在实际中的应用。最典型的例子就是光孤立子在现代通信技术中的应用〔4〕，〔9〕。1973年，科学家们提出并预言了光孤立子的存在。1980年在实验中得到了证实。由于光孤立子具有在传播中不损失波形、不改变速度、保真度高、保密性好等优点，是以光电为媒介的通信手段的最佳信息载体，受到科学家们的青睐，人们很自然地希望将它运用于现代光纤通信，从而产生了现代光纤孤立子通信技术。这一高新技术正在不断发展，并开始进入部分实用的阶段。到90年代中期，光孤立子已能被无变形地传输到14,000公里和1,000,000公里（后者需经过再生）。科学家们热切地期盼在未来的通信技术中，光孤立子能够施展其巨大的威力，使得地球上每一个人都能享受光纤孤立子通信带来的快捷、方便。

深思与启迪——并非"闲坐说玄宗"

孤立子概念提出后，这个领域已吸引了成千上万的科学家，包括从事数学、力学、物理学、生物学、光学等越来越多领域的研究者，使孤立子理论在过去的三十多年中得到飞速发展。可以说，孤立子研究正方兴未艾，继续往更复杂、更广泛、更本质的层次深入。当我们翻开现代科学史，站在今天的角度来回顾孤立子这朵"数学物理之花"一百多年的历史命运，应该能够深深体会到这也是现代科学技术百年历史的一个缩影。"古今多少事，都付笑谈中"，从罗素发现孤立波到光孤立子施展身手，从KdV方程到浩瀚如海的孤立子数学理论著作，桩桩件件，都是佳话，总能令人们津津乐道。然而，对于科学和科学家而言，除了"闲坐"或"笑谈"之外，也许更重要的是这一段历史带给我们的思考。在这里，我们要问的是：为什么罗素在160多年前的发现没有促成孤立子理论在当时的产生？换句话说，就是为什么孤立子理论只在本世纪五十年代后才姗姗登上科学的舞台？

其实，科学技术史上诸如孤立子历史命运的例子并不少。据史料记载〔11〕，人类很早就认识了蒸汽的原理，远在公元前120年左右，古希腊人就会按照喷射反作用的原理制造出用水蒸汽推动旋转的机械。但是，他们没有把它用来推动生产工具或是战船、战车，因为那时没有也不可能有这样的需求，只是作为奇技*巧供在王宫寺庙里赏玩。直到17世纪由于矿冶业需要的推动，蒸汽技术才引起重视，得到改进创新，启动了历史上前所未有的技术革命、产业革命，也因此发展了热力学这样一门新学科。纵观20世纪科学技术的发展，同样没有脱离历史的规则，孤立子的历史命运恰恰生动、深刻地说明了这一点。

罗素发现及探索孤立波的时期，在历史上正处于英国产业革命末期、化工技术革命和电力技术革命的初期，是一个机器生产取代手工生产的大时代。这个时代的特征是西方经济的空前发展，呼唤它需要的科学理论和技术革命，并使之充满前进的生机。经典自然科学的大厦在牛顿等如群星般涌现的大师、巨匠的智慧中已基本构筑完毕，科学正处于机械决定论的时代。"宇宙的解释者"——牛顿在经典数学、力学、光学等方面的成就代表了机械决定论的最高峰，此后一直支配着人们的科学思想。拉普拉斯对此作过精辟的阐述，他认为复杂世界的图象就如同机械部件的结构与秩序，超脱不出所谓"超智慧者"的洞察，对于"超智慧者"来说，"只要用一个数学公式他大概就能推断出宇宙中从最巨大的物体，直到最轻的原子的运动。""大概没有一件事是不确定的，未来犹如过去，都会呈现在他的眼前。"〔12〕机械决定论的后果之一就是人们醉心于确定性的、线性问题的数学物理方法，并在当时使之达到了完善、纯熟的境界。尽管这样的科学思想在20世纪以后得到突破，但在它的时代，却取得了巨大的成就：一方面促进经典自然科学各分支的迅速发展，为技术革命奠定了理论基础，另一方面极大地推动了社会生产的进步。工业生产的发展和当时的技术水平并不可能对经典自然科学提出超出那个时代的"非分的"要求。因此，尽管在牛顿力学中曾出现过令人感兴趣的非线性难题（如刚体定点运动和三体问题），但科学家们还远远没有被"逼迫"到研究非线性问题的时候。我们知道，孤立子从数学本质上来说是非线性的结果，而在罗素的时代，工业生产、技术改造及科学理论的发展都不可能对孤立子研究提出迫切的需求。这就是孤立波在上个世纪没有得到人们关注的根本原因。尽管罗素凭借其敏锐的洞察力和对事物物理本质的深刻把握发现了孤立波，但是，他不可能超越机械决定论对那个时代科学思想的支配，首先在数学上就得不到问题的答案。同样，60多年后KdV方程的结果也只是数学上的一次"巧合"，改变不了孤立波被埋没的命运。因此，假定孤立波的发现推迟几十年甚至一个世纪（就象混沌是在本世纪60年代后被发现的一样），孤立子理论的出现、发展大概不会受很大的影响。从这个意义上说，罗素就象是一位孤独的先行者，在无意中闯到一个新宝库的门前，但是他没有也不可能得到"芝麻开门"的咒语。当然，这并不能否定他对以后孤立子理论的贡献，更不能因此而苛求他，正如我们不能苛求古希腊人制造出蒸汽机一样。

进入20世纪后，自然科学爆发了一场以相对论、量子力学的诞生为标志的物理学革命，人们从宇观和微观两个认识方向上对世界的探索和了解达到了前所未有的深度。天体演化、地球变迁、生命起源，都要涉及极其复杂系统的演变规律。研究这些复杂现象的基本规律、从总体联系的角度去探索和把握自然界，都迫切需要人们去研究更接近世界本质的非线性问题。〔10〕也只有人们致力于非线性问题研究后，孤立子才有可能从走出科学的冷宫。

经历了二战后的20世纪，人类迎来了一个科学技术超高速发展的新时代。世界各国间的经济、军备、技术等综合国力的竞赛，从根本上给予了现代科学技术超高速发展的动力。有资料表明〔10〕，战后所有发达国家科研经费的投入都以指数形式增长，全球用于科研的经费到60年代末已比本世纪初增长了400倍。人类社会的发展从未象本世纪一样依赖于科学技术，在本世纪初，发达国家生产的增长只有5％～20％是依靠科学技术，而到70年代已达到60％～70％。科学技术就是在这种"巨额需求"下加速发展，科学家的触角不断深入、延伸，新知识、新规律不断被发现，各种新学科、新领域也因此不断涌现。以孤立子为例，FPU问题最初并没有研究孤立子，而是考察模拟非谐晶格的复杂动力系统运动规律，最后从中意外地发现了孤立子现象。值得注意的是，军事上的需求对现代科学技术的发展起着不可估量的作用。众所周知，人类第一台电子计算机ENIAC就是为了解决复杂的弹道计算问题而制造的。而通过数值计算发现孤立子性质的FPU问题所依赖的工具正是美国用于设计氢弹的Maniac Ⅰ号大型计算机。不难想象，如果不是军事目的，人类的计算机时代可能就要推迟来临，计算机技术的在非军用范围的广泛应用和许多重大科技发现就要被改写。因此，本世纪战后各种社会因素对科技发展的强烈需求以及科学技术本身的不断深化、复杂化的特点，

红皮糖比紫皮糖更薄,口感更脆。红皮糖也被称为俄罗斯红皮糖,这种糖果,外面一层是由巧克力包裹的,吃进嘴里丝滑香甜,不会感觉很腻。紫皮糖是焦糖特色,层次分明,外层巧克力包裹着,甜度恰到好处。

kdv紫皮糖真假分辨是：看产地，看标签，看入境卫生证，看条码。看产地，如俄罗斯的产品，一般是显示俄罗斯文字或者logo。看标签，进口食品都是有在商检局备案中文标签的，糖果备案的一般是大包装的标签，超市卖的一般是散装包装的，有些是有备案号的，如您想真正了解的话可以找超市负责人提供。

俄罗斯紫皮糖的热量

俄罗斯紫皮糖它的规格是每一百克，热量为2303千焦。俄罗斯紫皮糖也叫俄罗斯紫皮糖。俄罗斯紫皮糖是目前国内最畅销的一款糖之一。它的口感是酥脆的，并加入特色的焦糖，紫皮糖层次分明，外层巧克力包裹，巧克力搭配酥脆的焦糖脆，先尝到浓郁的巧克力甜味，后会焦糖夹心酥脆，甜度恰到好处，细腻做工而成的焦糖杏仁夹心脆，细致酥脆，口感丰富，加上焦糖巧克力体味，风味独特，清爽甜蜜。

用的什么网络？1 如果没在虚拟***，局域网内，那么做好外网和内网间做好映射了么

2 网络是不是不行，kdv对带宽要求还是比较高的，如果网太差了，出现不可达就正常了。

你可以试试对网络要求更低的gomeetnow，如果能连通就是明显你的网络不支持使用kdv

1、鞋子的配置不一样。

KD5简版：配置是前掌zoom，后掌无配置。

KD5原版：配置是前掌zoomair，后掌maxair。

2、鞋子的外形不一样。

KD5简版：高帮鞋型。

KD5原版：低帮鞋型。

3、鞋子的性能以及保护性不同。

KD5简版：简版比较耐磨，脚感相对没那么好。

KD5原版：稳定性好，保护性也较好。

扩展资料：

KD5配色：

冰蓝色配色

NikeZoomKDV冰蓝色配色，这一个配色以浅淡的蓝色为主，又给一种冰的颜色感觉，同时鞋底是以橙色为主，这一个配色很适合杜兰特低调的性格，而这耐克篮球鞋也是他的主场配色之一。

银色配色

nike篮球鞋为杜兰特设计了KD五代战靴，而且出了不少雷霆版本配色，我们就介绍其中的一个配色，这一个配色主要是采用银色，在Hyperfuse的鞋面应用到蓝色队衣的蓝色舌头，同时运用到花边、内衬橙色。鞋跟底是白色，一个橙色的MaxAir单元和橡胶底。

绿/红配色

KevinDurant已经先行曝光了一款金属绿/热辣红配色的ZoomKDV。这款配色极有可能就是圣帕特里克节的节日别注。

圣诞配色

这一次nike设计师们把他的电玩与篮球鞋结合一起。从复古电子游戏图形以及杜兰特最喜欢的游戏中汲取灵感，为杜兰特圣诞版战靴设计出独特鞋面、鞋垫图形与鞋舌处的标志。KDV是杜兰特专属战靴中技术最先进的一款，前掌采用NikeZoom、足跟部搭载NikeAir、Hyperfuse鞋面、以及动态鞋跟支撑。绚丽圣诞版配色球鞋。

参考资料来源：百度百科-耐克杜兰特5代

参考资料来源：Nike官网-首页

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