如何证明在椭圆中通径是最短的焦点弦

^方法一：设出椭圆方程为x^2/a^+y^2/b^2=1，

过焦点F(c，0)的直线方程为x=my+c(这里不能设成y=k(x-c),因为通径的斜率不shu存在)，

然后方程联立，利用弦长公式可整理成关于m的函数式，

从中求出当且仅当m=0时，弦长最短。

方法二：利用椭圆的第二定义，将椭圆上的点转化为点到相应准线的距离，利用梯形的几何性质可以很容易得到。

扩展资料：

证明：

设椭圆x²/a²+y²/b²=1,焦点(c,0),(-c,0),且c²=a²-b²

令x=c或-c,c²/a²+y²/b²=1

∴y²/b²=1-c²/a²=1-(a²-b²)/a²=b²/a²

∴y²=b²×b²/a²,y=b²/a或-b²/a

即通径两端点为(c,b²/a)(c,-b²/a),或者(-c,b²/a)(-c,-b²/a)

∴通径长=b²/a-(-b²/a)=2b²/a

参考资料来源：百度百科-椭圆通径长定理

准线：椭圆和双曲线：x=(a^2)/c

抛物线：x=p/2（以y^2=2px为例）

焦半径：

椭圆和双曲线：a±ex（e为离心率。x为该点的横坐标，小于0取加号，大于0取减号）

抛物线：p/2+x（以y^2=2px为例）

以上椭圆和双曲线以焦点在x轴上为例。

弦长公式：设弦所在直线的斜率为k,则弦长=根号[（1+k^2）(x1-x2)^2]=根号[（1+k^2）((x1+x2)^2-4x1x2)]用直线的方程与圆锥曲线的方程联立，消去y即得到关于x的一元二次方程，x1，x2为方程的两根，用韦达定理即可知x1+x2和x1x2，再代入公式即可求得弦长。

抛物线通径=2p

抛物线焦点弦长=x1+x2+p用焦点弦的方程与圆锥曲线的方程联立，消去y即得到关于x的一元二次方程，x1，x2为方程的两根

焦点弦概念

定义焦点弦是指椭圆或者双曲线或者抛物线上经过一个焦点的弦

焦点弦简述数学中的弦是指同一条圆锥曲线或同一个圆上两点连接而成的线段。

焦点弦特点焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。而由于椭圆或双曲线上的点与焦点之间的距离(即焦半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该点到对应的准线之间的距离来表示(圆锥曲线第二定义)，因此，焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。这是一个很好的性质。焦点弦长就是这两个焦半径长之和。此外，由于焦点弦经过焦点，其方程式可以由其斜率唯一确定，很多问题可以转化为对其斜率范围或取值的讨论。(注意斜率不存在的情况!即垂直于x轴!)

研究对象圆锥曲线方程。

椭圆焦点弦公式2ab^2/(b^2+c^2sin^2a)

双曲线焦点弦公式2ab^2/lb^2-c^2sin^2al

抛物线焦点弦公式p/2+x

抛物线焦点弦的其他结论①弦长公式

②若直线ab的倾斜角为α，则|ab|=2p/sin平方α

③y2=2px或y2=-2px时，x1x2=p2/4,y1y2=-p2

x2=2py或x2=-2py时，y1y2=p2/4,x1x2=-p2

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ecosθ=λ-1/λ+1这叫焦点弦公式，在椭圆、双曲抛物线中都有这个公式，如抛物线中：FA=p/(1-cosθ) FB=p/(1+cosθ) 可见这个是问题中ecosθ=|（1-λ）/(1+ λ) | (λ=AF/BF,θ为与坐标轴夹角)的一个推论。

一般的圆锥曲线弦长可以用弦长公式来求，但因为焦点弦经过焦点这条特殊的性质，使得焦点弦长有着其他更加方便的求法（根据已知信息选择相应公式）。

扩展资料

焦点弦公式定理：

定理1 （配极理论的原则）：若点P的极线通过点Q，则点Q的极线也通过点P；

定理2：通过一点P而且与一个常态二次曲线相切的直线，它的切点在点P的极线上；

定理3：椭圆、双曲线、抛物线焦点的极线是相应的准线；

定理4：如果椭圆、双曲线、抛物线的两条切线的交点在准线上，则过切点的直线必过焦点。

方法一：设出椭圆方程为x^2/a^+y^2/b^2=1,

过焦点F(c,0)的直线方程为x=my+c(这里不能设成y=k(x-c),因为通径的斜率不存在),

然后方程联立,利用弦长公式可整理成关于m的函数式,

从中求出当且仅当m=0时,弦长最短

方法二：利用椭圆的第二定义,将椭圆上的点转化为点到相应准线的距离,利用梯形的几何性质可以很容易得到

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