1、狄利克雷函数
D(x)=1, if x是有理数；
D(x)=0, if x是无理数。
它处处不连续；处处极限不存在；不可积分。这是一个处处不连续的可测函数。
2、Riemann 函数,
一个界为 1, 它在有理点不连续, 积分为 0。
扩展资料：
黎曼积分在应用领域取得了巨大的成功，但是黎曼积分的应用范围因为其定义的局限而受到限制。由于黎曼可积函数主要是连续函数或不连续点不太多的函数，使得黎曼积分在量子力学和概率论中的应用都遇到了瓶颈。
仅从数学分析中的一些重要结果如积分与极限交换次序、重积分交换次序、牛顿一莱布尼茨公式等来看，黎曼积分要求的条件苛刻，对于一些问题的处理显得力不从心，但是在勒贝格积分的框架下，上述问题就会得到较为圆满的解决。
另外为引入积分而得到的勒贝格测度概念还使数学分析中本来很难讲清楚的一些道理（如单调函数的可微性、黎曼可积的充要条件等）变得清晰。
勒贝格积分是在勒贝格测度理论的基础上建立起来的。这一积分可以统一处理函数有界与无界的情形，函数也可以定义在更一般的点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理。因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛，特别对概率论与数理统计的深入学习有十分重要的意义。
参考资料来源：百度百科——可积函数
找一个不收敛的Cauchy序列的例子就行了，这里“不收敛”的意思是在Riemann可积函数这个子空间内没有极限
比如说，取一个[0,1]上广义Riemann可积的函数f(x)=lnx，然后定义序列{f_n(x)}
f_n(x)在[1/n,1]上等于f(x)，在[0,1/n]上为零
那么{f_n(x)}是L^1[0,1]上的Cauchy序列，但其极限不是Riemann可积的，即[0,1]上的Riemann可积的函数不是L^1[0,1]的完备子空间
当然，即使是广义Riemann可积函数全体依然不是完备的，下面的例子更好一些
f_0(x)是Riemann函数，f_{n+1}(x)=min{2f_n(x),1}
那么{f_n(x)}是L^1[0,1]上的Cauchy序列，其极限是Dirichlet函数，不是(广义)Riemann可积的
可积。
可积函数的函数可积的充分条件:1、函数有界;2、在该区间上连续;3、有有限个间断点数学上,可积函数是存在积分的函数除非特别指明,一般积分是指勒贝格积分;否则,称函数为＂黎曼可积＂(也即黎曼积分存在),或者＂Henstock-Kurzweil可积＂,等等。
具体回答如下：
积分限分为0到π/4，π/4到π/2。
π/4到π/2上的积分换元x=π/4-t，化为lncosx 从0到π/4的积分。
原式
=∫（0到π/4） （lnsinx+lncosx）dx
=∫（0到π/4） （-ln2+lnsin(2x)）dx
=-π/4×ln2+∫（0到π/4） lnsin2x dx
=-π/4×ln2+1/2×∫（0到π/2） lnsint dt，后者换元t=2x。
综上所述，原式=-π/2×ln2。
积分的性质：
如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。
作为推论，如果两个函数上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。
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