平方和的求和公式

平方和公式n（n+1）（2n+1）/6，即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n（n+1）（2n+1）/6（注：=N^2=N的平方）。平方和公式是一个比较常用公式，用于求连续自然数的平方和，其和又可称为四角锥数，或金字塔数也就是正方形数的级数。

什么是平方

平方是一种运算，比如，a的平方表示a×a。代数中，一个数的平方是此数与它的本身相乘所得的乘积，一个元素的平方是此元素与它的本身相乘所得的乘积，平方也可视为求指数为2的幂的值。

常用平方根

√0=0（表示根号0等于0，下同）

√1=1

√2=14142135623731

√3=173205080756888

√4=2

√5=223606797749979

√6=244948974278318

√7=264575131106459

√8=282842712474619

√9=3

√10=316227766016838

平方和公式：1²+2²+3²++n²=n(n+1)(2n+1)/6

推理如下:

2³-1³=3×1²+3×1+1

3³-2³=3×2²+3×2+1

4³-3³=3×3²+3×2+1

(n+1)³-n³=3n²+3n+1

以上n个式子相加，得

(n+1)³-1=3(1²+2²+3²++n²)+3(1+2+3++n)+(1+1+1++1)

即(n+1)³-1=3(1²+2²+3²++n²)+3[n(n+1)/2]+n

∴3S=(n+1)³-1-3n(n+1)/2-(n+1)

即S=n(n+1)(2n+1)/6。

扩展资料：

相关公式：

（1）（a-b）³＝a³－3a²b＋3ab²-b³

（a-b）³＝a³－3a²b＋3ab²-b³的推导过程如下：

(a-b)³

=(a-b)(a-b)²（分解成两个因式相乘）

1、完全平方公式:(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b²。

2、平方和公式是一个比较常用公式，用于求连续自然数的平方和（Sum of squares），其和又可称为四角锥数，或金字塔数（square pyramidal number）也就是正方形数的级数。

a^2+b^2。

a与b的平方和表示为a^2+b^2，a与b的平方的和也是a^2+b^2是一样的，如果说是a与b的和的平方，那就是（a+b）^2。

其他相关公式：

（1）（a+b）³＝a³＋3a²b＋3ab²＋b³

（2）a³+b³=a³+a²b-a²b+b³=a²（a+b）-b（a²-b²）=a²（a+b）-b（a+b）（a-b）

=（a+b）[a²-b（a-b）]=（a+b）（a²-ab+b²）

（3）a³-b³=a³-a²b+a²b-b³=a²（a-b）+b（a²-b²）=a²（a-b）+b（a+b）（a-b）

=（a-b）[a²+b（a+b）]=（a-b）（a²+ab+b²）

平方和公式n(n+1)(2n+1)/6，即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6(注：n^2=n的平方)。这是连续自然数的平方和公式。

证明/平方和公式

证明1＋4＋9＋…＋n^2＝n(n+1)(2n+1)/6

1、n＝1时，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1

2、n＝2时，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5

3、设n＝x时，公式成立，即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6

则当n＝x＋1时，

1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2

＝（x＋1）2（x2）＋x＋6（x＋1）/6

＝（x＋1）2（x2）＋7x＋6/6

＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6

＝（x＋1）（x＋1）＋12（x＋1）+1/6

也满足公式

4、综上所诉，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得证。

三个数的平方和公式：（a+b+c）²=（a+b）²+2（a+b）c+c²。平方和，数学术语，定义为2个或多个数的平方相加。通常是一些正整数的平方之和，整数的个数可以是有限个，也可以是无限多。

平方是一种运算，比如，a的平方表示a×a，简写成a²，也可写成a×a（a的一次方乘a的一次方等于a的2次方），例如4×4=16，8×8=64，平方符号为2。

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