设Fn是斐波那契数列的第n项，求证：

第一道题：第二数学归纳法

对m进行归纳：

当m=1时，F(1)=F(2)=1

F(n+1)=F(n-1)+F(n)=F(n-1)F(1)+F(n)F(2)成立

假设m<=k时成立，即

那么F(n+k+1)=F(n+k)+F(n+k-1)(运用m=k时和m=k-1时成立）

=F(n-1)Fk+FnF(k+1)+F(n-1)F(k-1)+FnF(k)

=F(n-1)F(k+1)+F(n)F(k+2)

则对于m=k+1时也成立，根据第二数学归纳法，命题成立

第二题：其实非常简单

首先：利用第一数学归纳法：

当n=1时，命题成立(α,β)^1 =(α1,β1)

当n=k时，假设成立

则当n=k+1时，

a2=(F(n+2),F(n+1）)

b2=(F(n+1),F(n))

很容易就得到(a2,b2)=(a,b)(a1,a2)

矩阵写起来太麻烦，自己算就行了，很容易

命题得证。

然后(α,β)^n =(α1,β1) 两边取行列式

|(α,β)|=-1 |(α1,β1)|=F(n+1)F(n-1)-(Fn)^2

则F(n+1)F(n-1)-(Fn)^2=（-1）^n

明白了吗

数学归纳法原理：

第一数学归纳法：⑴证明当n取第一个值n0时，命题成立。

⑵假设当n=k（k≥n0,k∈N）时，命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立。

则命题对于从n0开始的所有自然数n都成立。

第二数学归纳法：⑴证明当n=n0，n=n0+1时，命题成立。

⑵假设当n=k－1,n=k（k≥n0,k∈N）时，命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立。

则命题对于从n0开始的所有自然数n都成立。

第三数学归纳法：⑴证明当n取第一个值n0时，命题成立。

⑵假设当n≤k（k≥n0,k∈N）时，命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立。

则命题对于从n0开始的所有自然数n都成立。

例题：

证：an＋bn能被a＋b整除

(n(N，n为奇数)。

证：①当n=1时，显然。

②设n=k时，结论对。则当n=k＋2时，

∵ak(2＋bk(2=ak(2＋a2bk－a2bk＋bk(2=a2(ak＋bk)－bk(a－b)

(a＋b)，由归纳假设知能被a＋b整除。

由①、②知对一切奇数n，an＋bn能被a＋b整除。

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